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Hasta el momento, hemos discutido acerca de la igualdad de conjuntos y, hasta cierto punto, acerca de como crear nuevos conjuntos a partir de uno preexistente. Sin embargo, dado lo que sabemos, hemos estado trabajando en nada. El siguiente axioma garantizará que hay al menos un conjunto; a saber, un conjunto que no posee ningún elemento, el conjunto vacío. Luego veremos que este axioma con algunos otros son suficientes para construir las matemáticas.

Axioma 1 (Axioma del conjunto vacío). Hay un conjunto {\emptyset = \{\}} que no contiene elementos.

Como siempre, la unicidad está garantizada por el axioma de extensión.

Para construir el conjunto vacío, podríamos asumir la existencia de otro conjunto. Luego, por el axioma de especificación, podríamos usar la sentencia {S(a) = a \in S \land a \ne a} que resulta ser un conjunto que no contiene elementos. La preferencia por uno u otro enfoque es una cuestión estética.

El conjunto vacío se adapta bastante bien con la lógica. Esta es la noción de verdad vacua. Informalmente, esto quiere decir que cualquier implicación cuantificada universalmente sobre el conjunto vacío es siempre verdadera. Sin demostración, usaremos la identidad {p \implies q \equiv \neg p \lor q}.

Proposición 2. Sea {P(x)} una sentencia. Entonces {\forall x [ x \in \emptyset \implies P(x) ]} siempre es verdadera.

Demostración. Usando la identidad del párrafo anterior, notemos que

\displaystyle  \forall x [ x \in \emptyset \implies P(x) ] \equiv \forall x [ \neg(x \in \emptyset) \lor P(x) ] \equiv \forall [ x \notin \emptyset \lor P(x) ]

y siempre es cierto que {x \notin \emptyset} por el axioma del conjunto vacío.\Box

De esta proposición, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 3. Sea {A} un conjunto. Entonces {\emptyset \subseteq A}.

Demostración. Consideremos la sentencia {S(a) = a \in A}. Así se cumple {\forall x \in \emptyset \implies S(x)} que es vacuamente cierta por el teorema anterior. El resultado sigue de la definición de subconjunto.\Box

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Continuemos con nuestro recorrido por los axiomas ZF de la teoría de conjuntos.

1.   Axioma de reemplazo

Ahora consideraremos el esquema para el reemplazo. El alcance de este axioma será apreciado cuando profundicemos en la teoría de conjuntos, especialmente cuando extendamos el conteo de conjuntos infinitos. La razón de este axioma radica en la necesidad construir un conjunto sustituyendo los elementos de otro.

Axioma 1 (Axioma de reemplazo). Sea {S(a, b)} una sentencia y sea {A} un conjunto. Si, para todo {a \in A}, hay un único {b} tal que {S(a, b)} es verdadero, entonces hay un conjunto {B} que cumple {b \in B \iff S(a, b)} para algún {a\in A}.

Puede paracer un tanto complicado. De hecho, nos dice que la colección {X = \{ b : S(a, b) \}} es un conjunto donde hay un solo {b} por cada {a \in A}.

Con esto podemos probar la siguiente afirmación de uso frecuente:

Teorema 2 (Teorema de especificación). Sea {S(a)} un setencia en {a} y sea {A} un conjunto. Entonces {B = \{ a \in A : S(a) \}} es un conjunto.

Demostración. Consideremos la afirmación {S(a, b) = a \in A \land S(a) \land a = b}. Por el Axioma 1, hay un conjunto {B} tal que {b \in B \iff S(a, b)}. Como {a = b}, tenemos que {a \in B \iff a \in A \land S(a)}. Por el Axioma 1, este es el conjunto {B}.\Box

En los inicios de la teoría de conjunto, este teorema era un axioma (el axioma de esecificación). Cuando el axioma del reemplazo fue necesario para obtener resultados más profundos, la especificación resultó redundante.

Este axioma sirvió permitió resolver aquello que motivó (esencialemente) la axiomatización de la teoría de conjuntos: la paradoja de Russell.

Proposición 3. No hay un conjunto universal.

Demostración. Supongamos que hay un conjunto universal {\mho}. Sea la setencia {S(a) = a \notin a}. Por el Teorema 2, {A = \{ a \in \mho : a \notin a \}} es un conjunto. Notemos que {x \in A \iff x \in \mho \land x \notin x}.
Ahora, si {A \in A}, entoncs {A \in \mho}. Como {A \notin A}, tenemos que {A \in \mho} por hipótesis y que {A \in A} por la construcción de {A}. De cualquier manera, si asumimos {A \in \mho} obtenemos una contradicción. Así {A \notin \mho} para evitar la contradicción, pero así {\mho} no contiene todos los conjuntos.\Box

La prueba muestra que {\mho} no es un conjunto y, consecuentemente, no hay garantía de que {A} sea un conjunto. Esto podría ser considerado una clase, pero esa discusión queda fuera del alcance de esta publicación.

Nuestra prueba puede parecer contradictoria, pero no lo es. Hemos asumido que la colección que llamamos conjunto universal es de hecho un conjunto y, de esto, aplicamos legítimamente el Teorema 2 para obtener el objeto en cuestión como un conjunto. El hecho que no es un conjunto es la validación final de la prueba. (Si investigamos la teoría de clases, podríámos usar este hecho como la contradicción de nuestra prueba.)

Otro punto importante a notar es que, en general, no podemos construir conjuntos a partir de una propiedad.

Finalmente, cuando usamos la especificación, dada una propiedad {P(x)}, escribiremos {\{ x \in A : P(x) \}} o {\{ x : P(x) \}} asumiendo que {x} pertenece a algún conjunto. Notemos que esto no contradice nuestra formulación del axioma del reemplazo pues necesitamos todavía necesario un conjunto inicial a reemplazar.

Antes de los axiomas de Zermelo-Frankel, Russel y Whitehead intentaron axiomatizar la Teoría de Conjuntos y resolver sus paradojas introduciendo los postulados de tipos, pero distaba de ser axiomas sencillos. El sistema de Zermelo-Frankel proporcionó unos axiomas más evidentes.

Ahora introduciremos los axiomas de Zermelo-Frankel de la teoría de conjuntos. A la vez, construiremos parte de la maquinaria matemática necesaria para cuestionar estos axiomas en un sentido matemático más que en un contexto puramente lógico. Esto nos permitirá ver cómo parte de las matemáticas pueden ser construidas desde la teoría de conjuntos. Haremos esto mediante la discusión acerca de la maquinaria que desarrollemos cuidándonos de cualquier argumento circular.

1.   Axioma de Extensión

Iniciaremos nuestra discusión acerca de la Teoría de Conjuntos haciéndonos una pregunta un tanto filosófica: ¿qué significa que dos conjuntos sean iguales? Ahora bien, esto parece trivial y seguro tenemos una respuesta intuitiva. Sin embargo, necesitamos hacer explícita esta percepción mediante un argumento riguroso.

Axioma 1 (El Axioma de Extensión). Sean {A, B} conjuntos. Entonces {A = B} si, y sólo si, contienen los mismos elementos.

Una consecuencia inmediata de esta definición es la proposición

Proposición 2. Se cumple que {\{ a, a \} = \{ a \}} y {\{ a, b \} = \{ b, a \}}.

Demostración. Notar que {x \in \{ a, a \} \iff x \in \{ a \}} para la primera afirmación. La segunda se cumple por el mismo argumento.\Box

Esto quiere decir que los elementos repetidos son ignorados en los conjuntos, y así los conjuntos son colecciones no ordenadas. El Axioma 1 también nos permite garantizar la unicidad de conjuntos.

Ahora veamos la noción de subconjunto:

Definición 3 (Subconjuntos y subconjuntos propios). Sean {A, B} conjuntos. Si {x \in A \implies x \in B}, diremos que {A} es un subconjunto de {B} escribiendo {A \subseteq B} o {B \supseteq A}. Si {A \subseteq B} pero {A \ne B}, escribimos {A \subsetneq B} o {B \supsetneq A} y diremos que {A} es un subconjunto propio de {B}.

Con esta definición, se puede formular el axioma de extensión de la siguiente manera: {A = B \iff A \subseteq B \text{ y } B \subseteq A}.

Proposición 4 (Transitividad). Si {A \subseteq B} y {B \subseteq C}, entonces {A \subseteq C}.

Demostración. Ya que {A \subseteq B}, sabemos que {x \in A \implies x \in B}. Y ya que {B \subseteq C}, {x \in B \implies x \in C}. Así, trivialmente, {x \in A \implies x \in C}.\Box

El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consta de variable usualmente denotadas por {x}, {X}, {\mho}, {\mathcal M}, entre otros. También tenemos el predicado {\in} de pertenencia para denotar que {x} pertenece a {X} mediante {x \in X}. El predicado {=} de igualdad cuando {x} es igual a {y} denotado {x = y}. Incluimos la lógica de predicados: la negación ({\neg}, no), la conjunción ({\land}, y), la disyunción ({\lor}, o), la implicación ({\implies}) y la equivalencia ({\iff}, sí y sólo si). También, la lógica de cuantificadores: el cuantificador universal ({\forall}, para todo) y el cuantificador existencial ({\exists}, existe). Además, consideraremos los símbolos de ámbito como los paréntesis o corchetes.

Una sentencia estará caracterizada por las reglas siguientes: (1) sean {x, y} variables, de manera que {x \in y} es un sentencia y escribimos {S(x, y) = x \in y}; (2) si {S, T} son sentencias, tenemos que {\neg S}, {S \land T}, {S \lor T}, {S \implies T}, {S \iff T} y {S = T} son también sentencias; y (3) siendo {S(a)} una sentencia en {a}, tenemos que {\forall a [S(a)]} y {\exists a [S(a)]} son sentencias.

Observemos que no hemos sido rigurosos al elaborar estas afirmaciones. Por ejemplo, hemos usado ingenuamente la relación {=} al definir la sentencia {S(x, y)}, aunque bastarán para nuestros propósitos.

En ocasiones seremos breves con el cuantificador universal escribiendo {x \in A} en lugar de {\forall x \in A}. Para evitar ambigüedad, seremos explícitos con el cuantificador existencial.

En la próxima entrega, veremos la relación de los axiomas de Zermelo-Frankel y las matemáticas.

Disculpen mi inactividad. He vuelto con una pequeña serie sobre Teoría de Conjuntos a modo compensación. También habrán algunos cambios que mencionaré en pronta publicación. 🙂

En 1883, Georg Cantor proponía todo conjunto puede ser bien ordenado como una ley del pensamiento. Este Principio de Buen Ordenamiento se mantuvo en el corazón de los números cardinales de Cantor, los mismos que él había construido para investigar los conjuntos infinitos. Sin embargo, el Principio de Buen Ordenamiento se transformó en el problema del Buen Ordenamiento cuando Cantor anduvo buscando una demostración durante una década. En 1908, Ernst Zermelo produjo una solución. Zermelo formuló e hizo uso de una nueva y extremadamente poderosa herramienta matemática, El Axioma de Elección.

Exploraremos los axiomas de Zermelo-Frankel de la Teoría de Conjuntos, probaremos el Lema de Zorn y el Teorema del Buen Ordenamiento, además consideraremos algunas de las consecuencias de El Axioma de Elección.

— Introducción —

Un conjunto Bien Ordenado es un conjunto en el que todo subconjunto alcanza un mínimo. Un conjunto bien ordenado usual es el conjunto de los números naturales. El buen ordenamiento es una propiedad deseable porque tales conjuntos se parecen a los números naturales. Hay cierta esperanza de que podamos trabajar con tales conjuntos de la misma manera que lo hacemos con los números naturales. Hay muchas consecuencias estupendas de las cuales hay dos a continuación: extender el conteo más allá de los números naturales y extender el proceso de inducción matemática.

El Buen Ordenamiento no es una ley del pensamiento trivial como Cantor descubrió. El Teorema del Buen Ordenamiento, todo conjunto puede ser bien ordenado, es un resultado profundo en teoría de conjuntos. Esta es la razón por la que procuraremos un preámbulo sobre la teoría de conjuntos; en particular, la teoría axiomática de conjuntos.

Intuimos sobre los números, la aritmética, el conteo, entre otros. Pero, la idea de la teoría de conjuntos es construir una teoría en la que estas observaciones sean una consecuencia y en el que todas las otras entidades maravillosas puedan ser construidas rigurosamente. Parafraseando esto, podemos decir que la motivación de la teoría de conjuntos fue crear las matemáticas desde algo fundamental e incuestionable.

La primera de estas teoría fue la teoría ingenua de conjuntos en las que los conjuntos fueron considerados como objetos intuitivos. La necesidad de axiomatizar la teoría de conjuntos empezó con siglo veinte, cuando filósofos y matemáticos empezaron a hallar contradicciones en esta teoría de conjuntos; para ilustrarlo, consideremos el problema sugerido por Bertrand Russell en 1903. La Paradoja de Russell es la siguiente: si {\mho} es el conjunto que contiene a todos los conjuntos (el conjunto universal) y {\mathcal M = \{ A \in \mho : A \notin A \}}, ¿se cumple {\mathcal M \in \mathcal M}? Bueno, supongamos que {\mathcal M \in \mathcal M}; entonces tenemos que {\mathcal M \notin \mathcal M}. Si {\mathcal M \notin \mathcal M}, entonces {\mathcal M \in \mathcal M}. Esto es una clara inconsistencia: la existencia de un conjunto universal se dio por sentada en esta teoría. Es problema es grave pues las matemáticas son precisas en la teoría que es construida. La teoría que exploramos es la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel, la teoría en la que el análisis clásico se basa y de hecho la teoría aceptada para definir las matemáticas.

Idealmente, los axiomas deberían ser «verdades inobjetables». No obstante, por la misma naturaleza de los axiomas es siempre debatible. De hecho, ha habido siempre un axioma de la teoría de conjuntos sujeto de severas críticas: El Axioma de Elección. Este axioma puede ser usado para elaborar pruebas no constructivas sobre la existencia de objetos fantásticos, algunos de los cuales son aparentes paradojas. Consideraremos el axioma de la elección a cierto detalle y, de hechom probaremos que es equivalente al Teorema del Buen Ordenamiento.