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   Uno de los teoremas fundamentales del cálculo establece que

\displaystyle  \int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a).

   Intuitivamente, el teorema fundamental del cálculo dice que «el cambio total es la suma de todos los cambios pequeños». De manera que {f'(x)\,dx} es un cambio pequeño en el valor de {f}. Uno puede sumar todos estos cambios pequeños y obtener el cambio total {f(b)-f(a)}.

   Con mayor detalle, partiendo el intervalo {[a,b]} en partes pequeñas:

\displaystyle  a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b.

Observemos que el cambio total en el valor de {f} a través de {[a,b]} es la suma de los cambios en el valor de {f} a través de todos los pequeños subintervalos {[x_i,x_{i+1}]}:

\displaystyle  f(b)-f(a)=\sum_{i=0}^{N-1}f(x_{i+1})-f(x_i).

(El cambio total es la suma de todos los cambios pequeños.) Pero, {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)}. Así,

\displaystyle  \begin{aligned} f(b)-f(a)&\approx \sum_{i=0}^{N-1}f'(x_i)\Delta x_i \\ &\approx\int_a^bf'(x)\, dx, \end{aligned}

donde {\Delta x_i=x_{i+1}-x_i}.

   Podemos convertir este argumento intuitivo en un prueba rigurosa. Ayuda mucho el que podamos usar el teorema del valor medio para reemplazar la aproximación {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)} con la igualdad (exacta) {f(x_{i+1})-f(x_i) = f'(c_i)(x_{i+1}-x_i)} para algún {c_i\in(x_i,x_{i+1})}. Esto nos da

\displaystyle  f(b)-f(a)=\sum_{i=0}^{N-1}f'(c_i)\Delta x_i.

Dado que {\epsilon>0}, es posible particionar {[a,b]} suficientemente fina de lo que es la suma de Riemann {\sum_{i=0}^{N-1}f'(c_i)\Delta x_i} con {\epsilon} de {\int_a^bf'(x)\,dx}. (Esta es la única definicióñ de la integrabilidad de Rieman.) Ya que {\epsilon>0} es arbitrario, lo que implica que {f(b)-f(a)=\int_a^bf'(x)\,dx}.

   El teorema fundamental del cálculo es un ejemplo perfecto donde: 1) la intuición es muy clara; y 2) la intuición puede convertirse directamente en un prueba rigurosa.

Aclaraciones. La aproximación {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)} sólo es una reformulación de lo que considero que es la idea más importante del cálculo: cuando {f} es diferenciable en {x}, tenemos que

\displaystyle  f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x.

La aproximación es buena cuando {\Delta x} es pequeño. Esta aproximación es esencialmente la definición de {f'(x)}:

\displaystyle  f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Si {\Delta x} es un número pequeño distinto de cero, tenemos

\displaystyle \begin{aligned} &f'(x)\approx\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ \iff & f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x. \end{aligned}

En efecto, la idea de {f'(x)} es darnos una aproximación local lineal para {f} en {x}, y la idea del cálculo es estudiar la funciones que son localmente lineales en el sentido que hay una buena aproximación lineal. El término «diferenciable» incluso podría reemplazarse con el término más descriptivo «localmente lineal».

   Desde este punto de vista del cálculo, vemos que él y el álgebra lineal están relacionado en el nivel más elemental. Para definir lo que es «localmente lineal» cuando {f\colon\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m}, primero tenemos que definir las transformaciones lineales. Para entender lo que es una aproximación local lineal para {f} en {x}, que es una transformación lineal, necesitamos desarrollar el álgebra lineal.

— 1. Con análisis asintótico y no estándar —

Por definición de derivada, tenemos

\displaystyle  f'(x)=\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}+o(1)

({o(1)} quiere decir que el error es infinitesimal).

   Si {H} es un entero no estándar positivo e infinito, por la regla del punto extremo izquierdo, con {\xi_i=a+i(b-a)/H}, tenemos

\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b f'(x) \, \mathrm{d}x &= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) f'\left(\xi_i \right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) \left(\frac{f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)}{\xi_{i+1} - \xi_i} + o(1)\right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} \left(f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i) + o\left(\frac{b-a}{H}\right) \right) + o(1) \\&= f(\xi_H) - f(\xi_0) + o(1) \\&= f(b) - f(a) \end{aligned}

donde los últimos pasos se debe a que ambos lado son estándar, y así la diferencia infinitesimal debe ser cero.

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