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   Nuestra educación de los sistemas numéricos se inicia con la enseñanza de los números naturales y sus operaciones. Luego, extendemos estos números con los negativos formando los enteros. Seguimos con las fracciones para los racionales. Posteriormente, pasamos con los decimales para los reales (y los racionales). Terminamos con el sistema de los números complejos. No obstante, no confundamos la cosa en sí con aquello que usamos para representarlo; por ejemplo, existe un juego con peones, reyes, alfiles, caballos y torres, y tenemos varias palabras para representar la idea de ese juego como ajedrez, chess, Schach, etc.

   Los números son como el ajedrez: podemos representarlos por fracciones, decimales, entre otros. El número imaginario {i} puede representarse mediante

\displaystyle  i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Esto puede parecer confuso porque uno podría nunca haber pensado en un número como una matriz. Pero las propiedades del número imaginario se mantienen con esta representación, como {i\cdot i=-1}. Incluso, es más confuso el hecho que es podemos representar muchas otras cantidades con

\displaystyle  e^{i\theta} = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

   Ahora bien, cualquier número compejo se puede representar mediante matrices:

\displaystyle  a+bi=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}.

Sumar y multiplicar números complejos equivale a sumar y multiplicar estas matrices. Lo que significa que la colección de matrices

\displaystyle  R=\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb R\right\}

es isomórfico al cuerpo de los números complejos.

   En particular, tenemos que

\displaystyle  i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Notemos que para esta matriz se cumple {i^2=-I_2=-1}.

¿Cómo nos ayuda esto? Pues, nos permite construir los números complejos desde matrices sobre número reales. Lo que ayuda a estudiar algunas propiedades de los números complejos mediante el Álgebra lineal.

   Por ejemplo, el módulo de un número complejo es {|a+bi|=a^2+b^2}. Lo que es lo mismo que la determinante de la matriz que representa al mismo número complejo. Ahora, ya que la determinante de un producto es el producto de las determinantes, obtenemos que {|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|} para cualquier par de números complejos {z_1} y {z_2}.

   Otro punto interesante es que la transpuesta equivale a la conjugación.

— 1. Un poco de la fórmula de Euler —

   La función exponencial puede definirse de diversas maneras. Una manera muy bonita es via su serie de MacLaurin: {e^x = 1+x+x^2/2!+\cdots}. En vez de pensar en {x} como una especie de indeterminada, podemos preguntarnos «¿qué idea puedo? asociar con esta serie?» Resulta que la serie

\displaystyle  e^A = I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots

converge para cualquier matriz cuadrada {A} for any square matrix {A}. (Hay que dar un sentido a «una serie de matrices convergente».)

   Consideremos un número real {x} representado como una de nuestras matrices:

\displaystyle  x=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix},

luego

\displaystyle  \begin{aligned} e^x&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x^2/2&0\\0&x^2/2\end{pmatrix}+\cdots\\ &=\begin{pmatrix}1+x+x^2/2+\cdots&0\\0&1+x+x^2/2+\cdots\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}e^x&0\\0&e^x\end{pmatrix}\\ &=e^x. \end{aligned}

De manera que no es sorprendente que la matriz exponencial y la exponenciación real usual sean la misma cosa.

   Ahora podemos preguntarnos, ¿qué obtenemos de la exponencial de un número complejo? Resulta que, dado

\displaystyle  a+bi=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix},

luego

\displaystyle  e^{a+bi}=\begin{pmatrix}e^a\cos(b)&-e^a\sin(b)\\ e^a\sin(b)&e^a\cos(b)\end{pmatrix}.

Esto involucra algo de Álgebra lineal.

   De todos modos, hemos hallado que {e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))}. Específicamente, tenemos

\displaystyle  e^{i\theta}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}.

De manera que

\displaystyle  e^{i\pi}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-1.

   Hemos visto que la exponenciación compleja (con un exponente imaginario puro) produce una matriz rotada. Así, nos lleva a asociar la aritmética compleja con las transformaciones geométricas dimensionales 2.

   Desde luego, hay otras manera de llegar a muchas de estas relaciones de los complejos. La via usando matrices no es la más rápida ni la más sencilla, pero es intersante de contemplar. 🙂

— 2. Operador isomórfico —

   La cuestión es que el operador {\phi\colon\mathbb C\rightarrow\mathcal R}, donde {\mathcal R=\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\}_{a,b\in\mathbb R}} definido por {\phi(a+ib)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}} que satisface unas cuantas condiciones, como que {\phi} es una biyección; {\phi(1)=I}, {\phi(z_1z_2)=\phi(z_1)\phi(z_2)}, donde la multiplicación es la multiplicación de números complejos en el lado izquierdo y la multiplicación matricial en el lado derecho; y similarlmente {\phi(z_1+z_2)=\phi(z_1)+\phi(z_2)}, donde {+} como en la multiplicación corresponde a {\mathbb R} y {\mathcal R}.

   Adicionalmente, tenemos {|z|=\|\phi(z)\|} (inducido por la norma euclideana), de manera que cuando {|z|=1}, podemos escribir {z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta} y {\phi(e^{i\theta})=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}. También, tenemos {\phi(\bar{z})=\phi(z)^T}.

   Podemos escribir {\phi(z)=\phi(\Re z)+\phi(\Im z)\phi(i)=(\Re z)I+(\Im z)J}, donde {I} es la matriz indentidad y {\phi(i)=J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}} (un tanto desafortunado que {i} se asigne a {J}). Por supuesto, {\mathcal R=\text{span}\{ I, J\}} y {J^2=-I}.

   Ya que {\phi} es una isometría, vemos que cuando {f} tiene una representación de serie de potencias {f(z)=\sum_k f_k z^k} para {z\in B(z_0,R)}, tenemos {\phi(f(z))=\phi(\sum_k f_k z^k)=\sum_k \phi(f_k)\phi(z)^k}. Las representaciones para {\exp, \sin, \cos}, etc. se siguen de este hecho.

   La operación {\phi} se conoce como isomorfismo de anillo. Indentifica a la multiplicación compleja con escalas y rotaciones en {\mathbb R^2} que provee alguna perspectiva geométrica.

— 3. De complejos a matrices —

   Sean

\displaystyle  I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

y

\displaystyle  J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

   Ya que {I} es la matriz identidad, multiplicando en la izquiera o la derecha, deja las matrices intactas. Así, tenemos que {I} tiene las propiedades de {1}.

   El hecho clave aqui es que {J^2=-I}. Cuando {I} representa {1}, tenemos que {J} representaría {i}.

   Como mencionamos antes, {I} conmuta con todas las matrices; en particular, con {J}. Esto es {IJ=J=JI}.

   La multiplicación escalar y matricial se distribuyen sobre la adición matricial. Por lo tanto,

\displaystyle  (xI+yJ)+(uI+vJ)=(x+u)I+(y+v)J \qquad(1)

y

\displaystyle  (xI+yJ)(uI+vJ)=(xu-yv)I+(xv+yu)J \qquad(2)

Con {I} representando {1} y {J} representado {i}, {(1)} y {(2)} se corresponden exactamente con la adición compleja y la multiplicación compleja.

   Como las funciones analíticas pueden escribirse como series involucando la adición y multiplicación de números complejos, estas funciones puedes traducirse directamente a las funciones correspondientes involucrando {I} y {J}.

   Por ejemplo,

\displaystyle  \begin{aligned} \exp(xI+yJ) &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI+yJ)^n}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{n!}\binom{n}{k}(xI)^{n-k}(yJ)^k\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(xI)^{n-k}}{(n-k)!}\frac{(yJ)^k}{k!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI)^n}{n!}\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^k}{k!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI)^n}{n!}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}I\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{y^{2k}}{(2k)!}I+\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}J\right)\\ &=e^xI(\cos(y)I+\sin(y)J)\\ &=e^x\cos(y)I+e^x\sin(y)J \qquad(3) \end{aligned}

   Podemo reescribir {(3)} como

\displaystyle  \exp\left(\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}e^x\cos(y)&-e^x\sin(y)\\e^x\sin(y)&e^x\cos(y)\end{pmatrix}

   En este sentido, podemos reformular casi cualquier fórmula que involucra números complejos en términos de matrices usando el isomorfismo

\displaystyle  x+yi\leftrightarrow\overbrace{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}^{xI+yJ}

Por ejemplo, el conjugado complejo es representado por la transpuesta

\displaystyle  \overline{x+yi}=x-yi\leftrightarrow\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}^T

y el cuadrado del valor absoluto es representado por la determinante {I} veces

\displaystyle  \begin{aligned} |x+yi|^2 =(x+yi)\overbrace{(x-yi)\vphantom{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}^{\text{conjugado}} &\leftrightarrow\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix} \overbrace{\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}^{\text{transpuesta}}\\ &=\begin{pmatrix}x^2+y^2&0\\0&x^2+y^2\end{pmatrix}\\ &=\det\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}I \end{aligned}

No sorprende que el recíprico es representado por la matriz inversa

\displaystyle  \begin{array}{ccc} \dfrac1{x+yi}&=&\dfrac{x-yi}{|x+yi|^2}\\ \updownarrow&&\updownarrow\\ \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}^{-1} &=&\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}\left(\det\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}I\right)^{-1}. \end{array}