1.   Axioma de Unión

Es natural pensar que, dado un conjunto de conjuntos {\mathcal C}, haya un conjunto mayor para el cual todo conjunto de {\mathcal C} es un subconjunto.

Axioma 1 (Axioma de Unión). Sea {\mathcal C} un conjunto de conjuntos. Entonces hay un conjunto {C} tal que para cualquier conjunto {X} se cumple {X \in \mathcal C \iff X \subseteq C}.

Alternativamente, podríamos relajar la condición de equivalencia y usar la Especificación para crear la misma unión.

Ahora veamos algo de notación.

Definición 2 (Unión). Sea {\mathcal C} un conjunto de conjuntos. Sea {C} el conjunto garantizado por el Axioma de Unión. Entonces diremos que {C} es la unión de los conjuntos de {\mathcal C} y escribimos

\displaystyle  C = \bigcup\mathcal C = \bigcup_{X\in C} X.

Establecemos dos hechos triviales sobre las uniones.

Proposición 3.
1.

\displaystyle  \bigcup\emptyset = \bigcup_{X\in\emptyset}X = \emptyset.

2.

\displaystyle  \bigcup\{Y\} = \bigcup_{X\in\{Y\}}X = Y.

Demostración. La primera es un argumento trivial y la segunda es sólo la aplicación del axioma de extensión.\Box

Supongamos que tenemos un par de conjuntos. La unión de estos puede escribirse de una manera particular. Notemos que esta definición no es un excepción del axioma del par, sino, uno caso especial.

Definición 4 (Unión de un par). Sea {\mathcal C = \{X, Y\}}. Escribiremos

\displaystyle  \bigcup\mathcal C = X\cup Y = \{x : x\in X \lor x\in B\}.

Ahora veamos unos hechos elementales de las uniones de pares. Dejaré las pruebas para el lector (son la aplicación de las definiciones).

Proposición 5 (Propiedades de la unión de un par). Sean {X, Y, Z} conjuntos. Entonces
1.

\displaystyle  X\cup\emptyset = X.

2.

\displaystyle  X\cup Y = Y\cup A.

3.

\displaystyle  X\cup(Y\cup Z) = (X\cup Y)\cup Z.

4.

\displaystyle  X\cup X = X.

5.

\displaystyle  X \subseteq Y \iff X\cup Y = Y.

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