Hasta el momento, hemos discutido acerca de la igualdad de conjuntos y, hasta cierto punto, acerca de como crear nuevos conjuntos a partir de uno preexistente. Sin embargo, dado lo que sabemos, hemos estado trabajando en nada. El siguiente axioma garantizará que hay al menos un conjunto; a saber, un conjunto que no posee ningún elemento, el conjunto vacío. Luego veremos que este axioma con algunos otros son suficientes para construir las matemáticas.

Axioma 1 (Axioma del conjunto vacío). Hay un conjunto {\emptyset = \{\}} que no contiene elementos.

Como siempre, la unicidad está garantizada por el axioma de extensión.

Para construir el conjunto vacío, podríamos asumir la existencia de otro conjunto. Luego, por el axioma de especificación, podríamos usar la sentencia {S(a) = a \in S \land a \ne a} que resulta ser un conjunto que no contiene elementos. La preferencia por uno u otro enfoque es una cuestión estética.

El conjunto vacío se adapta bastante bien con la lógica. Esta es la noción de verdad vacua. Informalmente, esto quiere decir que cualquier implicación cuantificada universalmente sobre el conjunto vacío es siempre verdadera. Sin demostración, usaremos la identidad {p \implies q \equiv \neg p \lor q}.

Proposición 2. Sea {P(x)} una sentencia. Entonces {\forall x [ x \in \emptyset \implies P(x) ]} siempre es verdadera.

Demostración. Usando la identidad del párrafo anterior, notemos que

\displaystyle  \forall x [ x \in \emptyset \implies P(x) ] \equiv \forall x [ \neg(x \in \emptyset) \lor P(x) ] \equiv \forall [ x \notin \emptyset \lor P(x) ]

y siempre es cierto que {x \notin \emptyset} por el axioma del conjunto vacío.\Box

De esta proposición, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 3. Sea {A} un conjunto. Entonces {\emptyset \subseteq A}.

Demostración. Consideremos la sentencia {S(a) = a \in A}. Así se cumple {\forall x \in \emptyset \implies S(x)} que es vacuamente cierta por el teorema anterior. El resultado sigue de la definición de subconjunto.\Box

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