Continuemos con nuestro recorrido por los axiomas ZF de la teoría de conjuntos.

1.   Axioma de reemplazo

Ahora consideraremos el esquema para el reemplazo. El alcance de este axioma será apreciado cuando profundicemos en la teoría de conjuntos, especialmente cuando extendamos el conteo de conjuntos infinitos. La razón de este axioma radica en la necesidad construir un conjunto sustituyendo los elementos de otro.

Axioma 1 (Axioma de reemplazo). Sea {S(a, b)} una sentencia y sea {A} un conjunto. Si, para todo {a \in A}, hay un único {b} tal que {S(a, b)} es verdadero, entonces hay un conjunto {B} que cumple {b \in B \iff S(a, b)} para algún {a\in A}.

Puede paracer un tanto complicado. De hecho, nos dice que la colección {X = \{ b : S(a, b) \}} es un conjunto donde hay un solo {b} por cada {a \in A}.

Con esto podemos probar la siguiente afirmación de uso frecuente:

Teorema 2 (Teorema de especificación). Sea {S(a)} un setencia en {a} y sea {A} un conjunto. Entonces {B = \{ a \in A : S(a) \}} es un conjunto.

Demostración. Consideremos la afirmación {S(a, b) = a \in A \land S(a) \land a = b}. Por el Axioma 1, hay un conjunto {B} tal que {b \in B \iff S(a, b)}. Como {a = b}, tenemos que {a \in B \iff a \in A \land S(a)}. Por el Axioma 1, este es el conjunto {B}.\Box

En los inicios de la teoría de conjunto, este teorema era un axioma (el axioma de esecificación). Cuando el axioma del reemplazo fue necesario para obtener resultados más profundos, la especificación resultó redundante.

Este axioma sirvió permitió resolver aquello que motivó (esencialemente) la axiomatización de la teoría de conjuntos: la paradoja de Russell.

Proposición 3. No hay un conjunto universal.

Demostración. Supongamos que hay un conjunto universal {\mho}. Sea la setencia {S(a) = a \notin a}. Por el Teorema 2, {A = \{ a \in \mho : a \notin a \}} es un conjunto. Notemos que {x \in A \iff x \in \mho \land x \notin x}.
Ahora, si {A \in A}, entoncs {A \in \mho}. Como {A \notin A}, tenemos que {A \in \mho} por hipótesis y que {A \in A} por la construcción de {A}. De cualquier manera, si asumimos {A \in \mho} obtenemos una contradicción. Así {A \notin \mho} para evitar la contradicción, pero así {\mho} no contiene todos los conjuntos.\Box

La prueba muestra que {\mho} no es un conjunto y, consecuentemente, no hay garantía de que {A} sea un conjunto. Esto podría ser considerado una clase, pero esa discusión queda fuera del alcance de esta publicación.

Nuestra prueba puede parecer contradictoria, pero no lo es. Hemos asumido que la colección que llamamos conjunto universal es de hecho un conjunto y, de esto, aplicamos legítimamente el Teorema 2 para obtener el objeto en cuestión como un conjunto. El hecho que no es un conjunto es la validación final de la prueba. (Si investigamos la teoría de clases, podríámos usar este hecho como la contradicción de nuestra prueba.)

Otro punto importante a notar es que, en general, no podemos construir conjuntos a partir de una propiedad.

Finalmente, cuando usamos la especificación, dada una propiedad {P(x)}, escribiremos {\{ x \in A : P(x) \}} o {\{ x : P(x) \}} asumiendo que {x} pertenece a algún conjunto. Notemos que esto no contradice nuestra formulación del axioma del reemplazo pues necesitamos todavía necesario un conjunto inicial a reemplazar.

Anuncios