Antes de los axiomas de Zermelo-Frankel, Russel y Whitehead intentaron axiomatizar la Teoría de Conjuntos y resolver sus paradojas introduciendo los postulados de tipos, pero distaba de ser axiomas sencillos. El sistema de Zermelo-Frankel proporcionó unos axiomas más evidentes.

Ahora introduciremos los axiomas de Zermelo-Frankel de la teoría de conjuntos. A la vez, construiremos parte de la maquinaria matemática necesaria para cuestionar estos axiomas en un sentido matemático más que en un contexto puramente lógico. Esto nos permitirá ver cómo parte de las matemáticas pueden ser construidas desde la teoría de conjuntos. Haremos esto mediante la discusión acerca de la maquinaria que desarrollemos cuidándonos de cualquier argumento circular.

1.   Axioma de Extensión

Iniciaremos nuestra discusión acerca de la Teoría de Conjuntos haciéndonos una pregunta un tanto filosófica: ¿qué significa que dos conjuntos sean iguales? Ahora bien, esto parece trivial y seguro tenemos una respuesta intuitiva. Sin embargo, necesitamos hacer explícita esta percepción mediante un argumento riguroso.

Axioma 1 (El Axioma de Extensión). Sean {A, B} conjuntos. Entonces {A = B} si, y sólo si, contienen los mismos elementos.

Una consecuencia inmediata de esta definición es la proposición

Proposición 2. Se cumple que {\{ a, a \} = \{ a \}} y {\{ a, b \} = \{ b, a \}}.

Demostración. Notar que {x \in \{ a, a \} \iff x \in \{ a \}} para la primera afirmación. La segunda se cumple por el mismo argumento.\Box

Esto quiere decir que los elementos repetidos son ignorados en los conjuntos, y así los conjuntos son colecciones no ordenadas. El Axioma 1 también nos permite garantizar la unicidad de conjuntos.

Ahora veamos la noción de subconjunto:

Definición 3 (Subconjuntos y subconjuntos propios). Sean {A, B} conjuntos. Si {x \in A \implies x \in B}, diremos que {A} es un subconjunto de {B} escribiendo {A \subseteq B} o {B \supseteq A}. Si {A \subseteq B} pero {A \ne B}, escribimos {A \subsetneq B} o {B \supsetneq A} y diremos que {A} es un subconjunto propio de {B}.

Con esta definición, se puede formular el axioma de extensión de la siguiente manera: {A = B \iff A \subseteq B \text{ y } B \subseteq A}.

Proposición 4 (Transitividad). Si {A \subseteq B} y {B \subseteq C}, entonces {A \subseteq C}.

Demostración. Ya que {A \subseteq B}, sabemos que {x \in A \implies x \in B}. Y ya que {B \subseteq C}, {x \in B \implies x \in C}. Así, trivialmente, {x \in A \implies x \in C}.\Box

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