El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consta de variable usualmente denotadas por {x}, {X}, {\mho}, {\mathcal M}, entre otros. También tenemos el predicado {\in} de pertenencia para denotar que {x} pertenece a {X} mediante {x \in X}. El predicado {=} de igualdad cuando {x} es igual a {y} denotado {x = y}. Incluimos la lógica de predicados: la negación ({\neg}, no), la conjunción ({\land}, y), la disyunción ({\lor}, o), la implicación ({\implies}) y la equivalencia ({\iff}, sí y sólo si). También, la lógica de cuantificadores: el cuantificador universal ({\forall}, para todo) y el cuantificador existencial ({\exists}, existe). Además, consideraremos los símbolos de ámbito como los paréntesis o corchetes.

Una sentencia estará caracterizada por las reglas siguientes: (1) sean {x, y} variables, de manera que {x \in y} es un sentencia y escribimos {S(x, y) = x \in y}; (2) si {S, T} son sentencias, tenemos que {\neg S}, {S \land T}, {S \lor T}, {S \implies T}, {S \iff T} y {S = T} son también sentencias; y (3) siendo {S(a)} una sentencia en {a}, tenemos que {\forall a [S(a)]} y {\exists a [S(a)]} son sentencias.

Observemos que no hemos sido rigurosos al elaborar estas afirmaciones. Por ejemplo, hemos usado ingenuamente la relación {=} al definir la sentencia {S(x, y)}, aunque bastarán para nuestros propósitos.

En ocasiones seremos breves con el cuantificador universal escribiendo {x \in A} en lugar de {\forall x \in A}. Para evitar ambigüedad, seremos explícitos con el cuantificador existencial.

En la próxima entrega, veremos la relación de los axiomas de Zermelo-Frankel y las matemáticas.

Anuncios