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   Esta publicación es la primera de una serie de ejemplos de optimización con programación lineal en los que dejaré el planteamiento de los ejercicios. Posteriormente desarrollaré la solución usando alguna herramienta que implemente el Método Simplex, por ejemplo.

   Empecemos.

Ejercicio 1. Tenemos un destacamento militar formado por {50} ingenieros, {36} zapadores, {22} fuerzas especiales, y {120} soldados de infantería. Han de transportarse hasta una posición estratégica importante. En la base se dispone de 4 tipos de vehículos, {A}, {B}, {C} y {D}, para el transporte de las tropas. Cada vehículo puede transportar es {10}, {7}, {6} y {9} como se detalla en la siguiente tabla:

\displaystyle  \begin{array}{lcccc} & \text{Ingenieros} & \text{Zapadores} & \text{Fuerzas especiales} & \text{Infantería} \\ \text{A} & 3 & 2 & 1 & 4 \\ \text{B} & 1 & 1 & 2 & 3 \\ \text{C} & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \text{D} & 3 & 2 & 3 & 1 \end{array}

   El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino se estima en {160}, {80}, {40} y {120} litros respectivamente. Si queremos ahorrar combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el consumo sea el mínimo posible?

   Usaremos {X_i} como variable de decisión para representar el número de vehículos de tipo {i}. Nos queda determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión.

\displaystyle  \begin{array}{rrcrcrcrcr} \text{Ingenieros}\quad & 3X_A&+&X_B&+&2X_C&+&3X_D&\ge&50 \\ \text{Zapadores}\quad & 2X_A&+&X_B&+&X_C&+&2X_D&\ge&36 \\ \text{Fuerzas especiales}\quad & X_A&+&2X_B&+&2X_C&+&3X_D&\ge&22 \\ \text{Infantería}\quad & 4X_A&+&3X_B&+&X_C&+&X_D&\ge&120 \end{array}

   También se tienen que considerar las restricciones por la naturaleza del problema: {X_i\in\mathbf Z} y {X_i\ge0}.

   Finalmente nos queda determinar la función objetivo:

\displaystyle  \text{Minimizar } 160X_A+80X_B+40X_C+120X_D.

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Hola a todos. Volviendo de una temporada de inactividad, leía sobre una duda sobre la aplicabilidad del axioma de elección sobre conjuntos finitos. (Espero retomar el ritmo de publicaciones pronto.) 😉

En la Wikipedia se expone que «informalmente, el axioma de elección dice que dada cualquier colección de contenedores, donde cada uno contiene al menos un objeto, es posible hacer una selección de exactamente un objeto de cada contenedor. En muchos casos dicha selección puede hacerse sin invocar el axioma de elección; en particular, cuando el número de contenedores es finito […]». Hasta aquí uno se pregunta cómo puede realizarse una selección (como la descrita) cuando los contenedores son finitos; incluso, cómo puede realizarse la selección de un contenedor.

Luego se da un ejemplo: […] para cualquier colección (que podría ser infinita) de pares de zapatos, se puede seleccionar el zapato izquierdo de cada par, pero para una colección infinita de pares de calcetines (asumiendo que no tienen una característica distintiva), dicha selección puede obtenerse sólo usando el axioma de elección. ¿Cómo se puede hacer una selección de un calcetín si estos no tienen alguna característica distintiva? ¿Estamos obviando otro axioma?

Vamos a recorrer postulados elementales de elección hasta llegar al Axioma de Elección. Lo que nos permitirá conducirnos en los expuesto por la Wikipedia.

Empezamos fijando uno de los axiomas de la Teoría de Conjuntos.

Axioma 1 (Conjunto vacío). Hay un conjunto {\emptyset} que no contiene ningún elemento, es decir, para cualquier objeto {x} tenemos {x\notin\emptyset}.

Ahora bien, este axioma es suficiente para probar que podemos «elegir» un elementos de un conjunto no vacío:

Lema 2 (Elección simple). Si {X} es un conjunto no vacío, hay un objeto {x} de manera que {x\in X}.

Demostración. Supongamos que no hay ningún objeto {x} que cumpla {x\in X}, es decir, tenemos {x\notin X} para cualquier objeto {x}. Además {x\notin\emptyset} por el Axioma 1. Luego {x\in X} si, y sólo si, {x\in\emptyset} (son equivalentemente falsas) y así {X=\emptyset} por la definición de igualdad de conjuntos; lo que es una contradicción.\Box

Con este lema, podemos ver que, dada una colección de conjuntos no vacíos, podemos elegir un elemento de cada uno y así obtener una colección de objetos seleccionados. Una versión de esta idea se da con la siguiente proposición:

Proposición 3 (Elección finita). Sea {n\ge1} un número natural y, para cada número natural {1\le i\le n}, sea {X_i} un conjunto no vacío. Entonces existe un tupla {n} {(x_i)_{1\le i\le n}} tal que {x_i\in X_i} para todo {1\le i\le n}. En otras palabras, si cada {X_i} no es vacío, el conjunto {\prod_{1\le i\le n}X_i} tampoco es vacío.

Demostración. Procedamos por inducción. Cuando {n=1}, se cumple por el Lema 2. Ahora, sea {X_1,\dotsc,X_{n^+}} una colección de conjuntos no vacíos. Por hipótesis hay una tupla {n} {(x_i)_{1\le i\le n}} tal que {x_i\in X_i} para todo {1\le i\le n}. Además, como {X_{n^+}} no es vacío, hay un {x} tal que {x\in X_{n^+}} por el Lema 2. Si definimos la tupla {n^+} {(y_i)_{1\le i\le n}} fijando {y_i=x_i} cuando {1\le i\le n} e {y_i=x} cuando {i=n^+}, evidentemente tenemos {y_i\in X_i} para todo {1\le i\le n^+}. Esto cierra la inducción.\Box

Como vemos, no ha sido necesario el Axioma de Elección para poder hacer una selección de una colección finita de conjuntos.

Lo que el Axioma de Elección asegura es que la Proposición 3 de elección finita también es verdadera para productos cartesianos infinitos.

Axioma 4 (Elección). Sea {I} un conjunto y, por cada {\alpha\in I}, sea {X_\alpha} un conjunto no vacío. Entonces {\prod_{\alpha\in I}X_\alpha} tampoco es vacío. En otras palabras, hay una función {(x_\alpha)_{\alpha\in I}} que asigna un elemento {x_\alpha\in X_\alpha} a cada {\alpha\in I}.

La idea detrás de este axioma es la misma que la elección finita: dada un colección (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos {X_\alpha}, podemos elegir un elemento simple {x_\alpha} de cada uno, y formar una tupla (posiblemente infinita) {(x_\alpha)_{\alpha\in I}} de todas las elecciones hechas. Por un lado, esto es muy intuitivo en el sentido que aplicamos el Lema 2 una y otra vez. Por otro lado, el hecho de generar elecciones arbitrarias infinitas veces, sin una regla explícita sobre cómo hacerlas, es un tanto desconcertante. De hecho, muchos teoremas afirman la existencia de algún objeto {x} con ciertas propiedades sin manifestar qué objeto es o cómo se construye. No hay un diferencia entre una afirmación de existencia no constructiva y una de existencia constructiva (que puede ser preferible pero no necesario en muchos casos), excepto a un nivel filosófico.

En ocasiones no se necesita toda la capacidad del Axioma de Elección. En su lugar, suele usarse el axioma de elección numerable que es lo mismo que el axioma de elección pero restringida a un conjunto a lo sumo numerable. Por ejemplo,

Proposición 5. Sea {E} un subconjunto no vacío de la recta real con {\sup(E)<\infty} (es decir, {E} está acotado superiormente). Entonces hay una sucesión {(a_n)_{n=1}^\infty} cuyos elementos {a_n} se encuentran en {E}, de manera que {\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)}.

Demostración. Para cada número natural positivo {n}, {X_n} denota al conjunto

\displaystyle X_n:=\{x\in E:\sup(E)-1/n\le x\le\sup(E)\}.

Ya que {\sup(E)} es la mínima cota superior para {E}, {\sup(E)-1/n} no puede ser una cota superior para {E}, y así {X_n} no es vacío para cada {n}. Usando el axioma de elección (o el axioma de elección numerable), podemos hallar una sucesión {(a_n)_{n=1}^\infty} tal que {a_n\in X_n} para cualquier {n\ge1}. En particular {a_n\in E} para cualquier {n}, y {\sup(E)-1/n\le a_n\le\sup(E)} para cualquier {n}. Luego, tenemos {\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)} por la prueba del sanguchito. 🙂\Box

Uno puede obtener esta proposición sin el axioma de elección en algunos casos especiales. Por ejemplo, si {E} es un conjunto cerrado, podemos definir {a_n} sin elección mediante {a_n:=\inf(X_n)}.

El axioma de elección tiene otras formulaciones, como que existe una función elección para cualquier colección de conjuntos no vacíos. La siguiente proposición es otra formulación del axioma de elección.

Proposición 6. Sean los conjuntos {X} e {Y}, y sea {P(x,y)} una propiedad perteneciente a los objetos {x\in X} e {y\in Y} de manera que, para cada {x\in X}, hay al menos un {y\in Y} tal que {P(x,y)} es verdadera. Entonces existe una función {f\colon X\to Y} tal que {P(x,f(x))} es verdadera para todo {x\in X}.