Hola a todos. Recuperando un tanto el ritmo, vuelvo con un pequeño problema. Se conoce como la identidad de Hermite. Empecemos enunciándolo.

Proposición 1. Sea {m} un entero positivo y {\alpha} un número real. Tenemos que

\displaystyle  \lfloor\alpha\rfloor+\left\lfloor\alpha+\frac1m\right\rfloor+\dotsm+\left\lfloor\alpha+\frac{m-1}m\right\rfloor+=\lfloor ma\rfloor.

   Bien, sea

\displaystyle  f(x)=\lfloor mx\rfloor-\lfloor x\rfloor-\left\lfloor x+\frac1m\right\rfloor-\left\lfloor x+\frac2m\right\rfloor-\dotsm-\left\lfloor x+\frac{m-1}m\right\rfloor.

   Para los números reales {\alpha, \beta}, se cumple {\lfloor\alpha+1\rfloor-\lfloor\beta+1\rfloor=\lfloor\alpha\rfloor-\lfloor\beta\rfloor}, de manera que

\displaystyle  \begin{aligned} f\left(x+\frac1m\right)&=\lfloor mx+1\rfloor-\left\lfloor x+\frac1m\right\rfloor-\left\lfloor x+\frac2m\right\rfloor-\dotsb-\left\lfloor x+\frac{m-1}m\right\rfloor-\lfloor x+1\rfloor\\&= \lfloor mx\rfloor-\lfloor x\rfloor-\left\lfloor x+\frac1m\right\rfloor-\left\lfloor x+\frac2m\right\rfloor-\dotsb-\left\lfloor x+\frac{m-1}m\right\rfloor\\ &=f(x).\end{aligned}

   Por otro lado, para {0\le x<1/m} se tiene que {f(x)=0} y, así, se cumple {f(x)=0} para cualquier {x}, como se deseada.

   Para otra manera de mostrar la identidad, supongamos que {l/m\le\alpha-\lfloor\alpha\rfloor<(l+1)/m}, {0\le l< m} y {l} es un número natural. Entonces {l\le m(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor)<l+1} y así {\lfloor m\alpha\rfloor=l+m\lfloor\alpha\rfloor}. Además

\displaystyle  \left\lfloor\alpha+\frac{k}{m}\right\rfloor-\lfloor\alpha\rfloor=\begin{cases}0,\quad0\leqslant k<m-l,\:k\in\Bbb{N}\\1,\quad m-l\leqslant k<m.\end{cases}

Por lo tanto

\displaystyle  \sum_{k=0}^{m-1}\left\lfloor\alpha+\frac{k}{m}\right\rfloor=(m-l)\lfloor\alpha\rfloor+l+l\lfloor\alpha\rfloor=l+m\lfloor\alpha\rfloor=\lfloor m\alpha\rfloor.

   Y así, ya nos veremos en una próxima publicación. 😉

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