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   La hipótesis del continuo establece que {2^{\aleph_0}=\aleph_1}. Cantor postuló que es equivalente al hecho que no hay un subconjunto no numerable {A} de {\mathbf R} de manera que {|A|<\mathbf R}. ¿Por qué son equivalentes?

   Sabemos que {|\mathbf R|=2^{\aleph_0}}, lo que puede ser probado mediante la expansión binario de los números reales en el intervalo {[0,1]} (si contar una cantidad numerable de números sin una expansión única).

   El cardinal {\aleph_1} es por definición el menor cardinal mayor que {\aleph_0} lo que quiere decir que no hay un conjunto {A} tal que {\aleph_0<|A|<\aleph_1}. Así, en particular, {2^{\aleph_0}\not<\aleph_1}.

   Para el converso, en caso de tener {\aleph_1<2^{\aleph_0}=|\mathbf R|}, se tendría una inyección {f\colon\aleph_1\rightarrow\mathbf R} y, fijando a {A} como el rango de {f}, se tendría {A\subseteq\mathbf R} y {\aleph_0<|A|=\aleph_1<|\mathbf R|}.

   Por lo tanto, asumiendo que no hay ningún conjunto {A}, también se tiene {\aleph_1\not<2^{\aleph_0}} y, asumiendo el axioma de la elección, esto implica {\aleph_1=2^{\aleph_0}}.