Hay sucesiones que no convergen hacia ningún número real, pero en su lugar parece converger hacia {+\infty} o {-\infty}. Por ejemplo, parece intuitivo que la sucesión

\displaystyle  1, 2, 3, 4, 5,\dots

debería estar convergiendo hacia {+\infty}, mientras

\displaystyle  -1, -2, -3, -4, -5,\dots

debería estar convergiendo hacia {-\infty}. Entretanto, la sucesión

\displaystyle  1, -1, 1, -1, 1, -1,\dots

no parece estar convergiendo hacia nada (aunque veremos luego que tiene a {+1} y {=1} como «puntos límites» – en la siguiente publicación). Similarmente la sucesión

\displaystyle  1, -2, 3, -4, 5, -6,\dots

no converge hacia ningún número real, y tampoco parece estar convergiendo hacia {+\infty} o convergiendo hacia {-\infty}. Para precisar esta idea necesitamos comentar sobre algo llamado el sistema de los números reales extendidos.

Definición 1 (Sistema de los números reales extendidos). El sistema extendido de los número reales {\mathbf{R}^{\!*}} es la recta real {\mathbf{R}} con dos elementos adicionales, llamados {+\infty} y {-\infty}. Estos elementos son distintos entre sí y también distintos de cualquier número real. Un número real extendido {x} es finito ssi es un número real, e infinito ssi es igual a {+\infty} o {-\infty}. (Esta definición no está directamente relacionado con la noción de conjuntos finitos o infinitos, aunque, por supuesto, es similar en espíritu.)

   Estos nuevos símbolos, {+\infty} y {-\infty}, hasta el momento no tienen mucha significación, ya que no tenemos operaciones para manipularlos (además de la igualdad {=} y la desigualdad {\ne}). Ahora podremos algunas operaciones en el sistema de los números reales extendidos.

Definición 2 (Negación de los reales extendidos). La operación de negación {x\mapsto -x} en {\mathbf{R}} la extendemos a {\mathbf{R}^{\!*}} definiendo {-(+\infty):=-\infty} y {-(-\infty):=+\infty}.

   Así cada número real extendido {x} tiene una negación y {-(-x))} siempre es igual a {x}.

Definición 3 (Ordenamiento de los reales extendidos). Sean {x} e {y} números reales extendidos. Diremos que {x\le y}, i.e., {x} es menor o igual que {y}, ssi una de las siguientes tres afirmaciones es verdadera:

  1. {x} e {y} son números reales y {x\le y} como números reales.
  2. {y=+\infty}.
  3. {x=-\infty}.

   Diremos que {x<y} si tenemos {x\le y} y {x\ne y}. En ocasiones escribiremos {x<y} como {y>x} y {x\le y} como {y\ge x}.

Ejemplo 4. {3\le5}, {3<+\infty} y {-\infty<+\infty}, pero {3\not\le-\infty}.

   Veamos algunas de las propiedades elementales del orden y la negación en el sistema de los números reales extendidos:

Proposición 5. Sean {x,y,z} números reales extendidos. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. (Reflexividad) Tenemos {x\le x}.
  2. (Tricotomía) Exactamente una de las afirmaciones {x<y}, {x=y} o {x>y} es verdadera.
  3. (Transitividad) Si {x\le y} e {y\le z}, entonces {x\le z}.
  4. (Negación invierte el orden) Si {x\le y}, entonces {-y\le-x}.

Demostración. Ver el Ejercicio 1. \Box

Ejercicio 1. Probar la Proposición 5. (Sugerencia: se puede usar la proposición para números reales (no extendidos).)

   Podríamos introducir otras operaciones sobre el sistema de los números reales extendidos, como la adición, multiplicación, etc. Sin embargo, esto es algo peligroso en tanto estas operaciones casi con certeza fallarían al obedecer las conocidas reglas del álgebra. Por ejemplo, para definir la adición parece razonable (dada la noción intuitiva de infinito que tenemos) fijar {+\infty+5=+\infty} y {+\infty+3=+\infty}, pero entonces esto implica que {+\infty+5=+\infty+3}, mientras {5\ne3}. Así que cosas como la ley de cancelación se empiezan a quebrar una vez tratamos de aplicar operaciones que involucran el infinito. Para evitar este tipo de predicamentos simplemente no vamos a definir ninguna operación aritmética sobre el sistema de los números reales extendidos salvo la negación y el orden.

   Recordemos que definimos la noción de supremo o mínima cota superior de un conjunto {E} de reales; esto da un número real extendido {\sup(E)}, que es finito o infinito. Ahora extenderemos un poco esta noción.

Definición 6 (Supremo de conjuntos de reales extendidos). Sea {E} un subconjunto de {\mathbf{R}^{\!*}}. Entonces definimos el supremo {\sup(E)} o mínima cota superior de {E} mediante la siguiente regla:

  1. Si {E} está contenida en {\mathbf{R}} (i.e., {+\infty} y {-\infty} no son elementos de {E}), entonces se define {\sup(E)} como en se hizo con los números reales.
  2. Si {E} contiene a {+\infty}, entonces establecemos {\sup(E):=+\infty}.
  3. Si {E} no contiene a {+\infty} pero contiene a {-\infty}, entonces establecemos {\sup(E):=\sup(E-\{-\infty\})} (que es un subconjunto de {\mathbf{R}} y así cae en el caso (a)).

   También definimos el ínfimo {\inf(E)} de {E} (también conocido como la máxima cota inferior de {E} por la fórmula

\displaystyle  \inf(E):=-\sup(-E)

donde {-E} es el conjunto {-E:=\{-x:x\in E\}}.

Ejemplo 7. Sea {E} los enteros negativos junto con {-\infty}:

\displaystyle  E=\{-1, -2, -3, -4,\dots\}\cup\{-\infty\}.

Entonces {\sup(E)=\sup(E-\{-\infty\})=-1}, mientras

\displaystyle  \inf(E)=-\sup(-E)=-(+\infty)=-\infty.

Ejemplo 8. El conjunto {\{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,\dots\}} tiene ínfimo {0.9} y supremo {1}. Notar que en este caso el supremo no pertenece de hecho al conjunto, pero es está el algún sentido «tocándolo o rozándolo» desde la derecha.

Ejemplo 9. El conjunto {\{1, 2, 3, 4, 5,\dots\}} tiene ínfimo {1} y supremo {+\infty}.

Ejemplo 10. Sea {E} el conjunto vacío. Entonces {\sup(E)=-\infty} e {\inf(E)=+\infty} (¿por qué?). Este es el único caso en el cual el supremo puede ser menor que el ínfimo (¿por qué?).

   Uno puede pensar intuitivamente acerca del supremo de {E} como sigue: imaginemos la recta real con {+\infty} de algún modo en el extremo derecho, y {-\infty} en el extremo izquierdo. Imaginemos un pistón en {+\infty} moviéndose hacia la izquierda hasta toparse y detenerse por la presencia del conjunto {E}; la ubicación donde se detiene es el supremo de {E}. Similarmente si imaginamos un piston en {-\infty} moviéndose hacia la derecha hasta detenerse ante la presencia de {E}, la ubicación donde se detiene es el ínfimo de {E}. En el caso donde {E} es el conjunto vacío, los pistones pasan a través de ellos, el supremo aterriza en {-\infty} y el ínfimo aterriza en {+\infty}.

   El siguiente teorema justifica la terminología «mínima cota superior» y «máxima cota inferior»:

Teorema 11. Sea {E} un subconjunto de {\mathbf{R}^{\!*}}. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. Para cada {x\in E} tenemos {x\le\sup(E)} y {x\ge\inf(E)}.
  2. Suponiendo que {M} es una cota superior para {E}, i.e., {x\le M} para todo {x\in E}. Entonces tenemos {\sup(E)\le M}.
  3. Suponiendo que {M} es una cota inferior para {E}, i.e., {x\ge M} para todo {x\in E}. Entonces tenemos {\inf(E)\ge M}.

Demostración. Ver Ejercicio 2 \Box

Ejercicio 2. Probar la Proposición 11. (Sugerencia: es posible que se necesite separar en casos dependiendo de si {+\infty} o {-\infty} pertenecen a {E}. Puede por supuesto usarse la definición para números reales, probado que {E} consiste únicamente de números reales.)

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