Veremos las ideas principales sobre la convergencia de sucesiones y algunas propiedades elementales. Empezaremos repitiendo mucho de la maquinaria de las sucesiones {\varepsilon}-cercanas, etc.; pero en esta ocasión, lo haremos para sucesiones de números reales, no para números racionales. Esta discusión sustituye mejorando las ideas sobre la construcción de los números reales. Iniciemos definiendo la distancia para números reales:

Definición 1 (Distancia entre dos números reales). Dados dos números reales {x} e {y}, definimos su distancia {d(x,y)} como {d(x,y):=|x-y|}.

   Claramente esta definición es consistente con los racionales. Es más, la Proposición 2 se aplica a los números reales tanto como a los racionales, ya que los números reales obedecen la reglas del álgebra como los racionales.

Proposición 2 (Propiedades básicas de la distancia). Sean {x,y,z} números racionales.

  1. (No degeneración de la distancia) Tenemos {d(x,y)\ge0}. Además, {d(x,y)=0} si y sólo si {x=y}.
  2. (Simetría de la distancia) {d(x,y)=d(y,x)}.
  3. (Desigualdad triangular para la distancia) {d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)}.

Definición 3 ({\varepsilon}-cercanía de números reales). Sea {\varepsilon>0} un número real. Diremos que dos números reales{x,y} son {\varepsilon}-cercanos ssi tenemos {d(y,x)\le\varepsilon}.

   Nuevamente, es claro que esta definición de {\varepsilon}-proximidad es consistente con la definición para los racionales.

   Ahora, sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números reales; i.e., asignamos un número real {a_n} por cada entero {n\ge m}. El índice de arranque {m} es algún entero; usualmente {1}, pero el algunos casos iniciaremos desde algún índice distinto de {1}. (La elección del nombre usado para el índice de este sucesión carece de importancia; podríamos haber usado, por ejemplo, {(a_k)_{k=m}^\infty} y esto representaría exactamente la misma sucesión que {(a_n)_{n=m}^\infty}.) Con esto, podemos definir la noción de sucesión Cauchy de la misma manera que se hace para los racionales:

Definición 4 (Sucesiones Cauchy de reales). Sea {\varepsilon>0} un número real. Una sucesión {(a_n)_{n=N}^\infty} de números reales comenzando en algún índice entero {N} es {\varepsilon}-estable ssi {a_j} y {a_k} son {\varepsilon}-cercanos para todo {j,k\ge N}. Una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} comenzando en algún índice entero {m} es eventualmente {\varepsilon}-estable ssi existe un {N\ge m} tal que {(a_n)_{n=N}^\infty} es {\varepsilon}-estable. Diremos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy ssi es eventualmente {\varepsilon}-estable para cada {\varepsilon>0}.

   Para ponerlo de otra manera, una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} de números reales es una sucesión Cauchy si, para cada real {\varepsilon>0}, existe un {N\ge m} tal que {|a_n-a_{n'}|\le\varepsilon} para todo {n,n'\ge N}. Estas definiciones son consistentes con las correspondientes definiciones para los números racionales; aunque verificar su consistencia para las sucesiones Cauchy toma un poco de esfuerzo:

Proposición 5. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números racionales empezando en algún índice entero {m}. Entonces {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy en el sentido de la definición para sucesiones Cauchy en los racionales si, y sólo si, es una sucesión Cauchy en el sentido de la definición 4.

Demostración. Primero supongamos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy en el sentido de la Definición 4; entonces es eventualmente {\varepsilon}-estable para cada real {\varepsilon>0}. En particular, es eventualmente {\varepsilon}-estable para cada racional {\varepsilon>0}, lo que la vuelve una sucesión Cauchy en el sentido de la definición de sucesiones Cauchy para racionales. Ahora supongamos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy en el sentido de la definición para racionales; entonces es eventualmente {\varepsilon}-estable para cada racional {\varepsilon>0}. Si {\varepsilon>0} es un número real, entonces existe un racional {\varepsilon'>0} que es menor que {\varepsilon} (por el hecho que dado dos números reales {x<y}, podemos hallar un número racional {q} tal que {x<q<y}). Ya que {\varepsilon'} es racional, sabemos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es eventualmente {\varepsilon'}-estable; y como {\varepsilon'<\varepsilon}, esto implica que {(a_n)_{n=m}^\infty} es eventualmente {\varepsilon}-estable. Ya que {\varepsilon} es un número real positivo arbitrario, así vemos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy en el sentido de la Definición 4. \Box

   Debido a esta proposición, no nos preocuparemos de hacer la distinción entre ambas definiciones, y veremos el concepto de sucesión Cauchy como un único concepto unificado.

Ejercicio 1. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números reales, tal que {a_{n+1}>a_n} por cada número natural {n}. Probar que siempre que {n} y {m} son números naturales tales que {m>n}, entonces tenemos {a_m>a_n}. (Nos referimos a estas sucesiones como sucesiones crecientes.)

   Ahora comentaremos acerca de qué significa para una sucesión de números reales que esta converja a algún límite {L}.

Definición 6 (Convergencia de sucesiones). Sea {\varepsilon>0} un número real y sea {L} un número real. Una sucesión {(a_n)_{n=N}^\infty} de números reales es {\varepsilon}-cercana a {L} ssi {a_n} es {\varepsilon}-cercana a {L} para cada {n\ge N}, i.e., tenemos {|a_n-L|\le\varepsilon} ara cada {n\ge N}. Diremos que una sucesión {(a_n)_{n=N}^\infty} es eventualmente {\varepsilon}-cercana a {L} ssi existe un {N\ge m} tal que {(a_n)_{n=N}^\infty} es {\varepsilon}-cercana a {L}. Diremos que una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {L} ssi es eventualmente {\varepsilon}-cercana a {L} para cada real {\varepsilon>0}.

   Podemos desglosar todas las definiciones aqui y escribir el concepto de convergencia directamente; ver el Ejercicio 2.

Ejercicio 2. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números reales, y sea {L} un número real. Mostrar que {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {L} si, y sólo si, dado cualquier real {\varepsilon>0}, podemos hallar un {N\ge m} tal que {|a_n-L|\le\varepsilon} para todo {n\ge N}.

Ejemplo 1. La sucesión

\displaystyle  0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,\dots

es {0.1}-cercana a {1}, pero no es {0.01}-cercana a {1} debido al primer elemento de la sucesión. Sin embargo, es eventualmente {0.01}-cercana a {1}. De hecho, para cada real {\varepsilon>0}, esta sucesión es eventualmente {\varepsilon}-cercana a {1}m por lo tanto es convergente a {1}.

Proposición 7 (Unicidad de los límites). Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión real empezando en algún índice entero {m}, y sean {L\ne L'} dos números reales distintos. Entonces no es posible para {(a_n)_{n=m}^\infty} converger a {L} mientras también converge a {L'}.

Demostración. Supongamos por contradicción que {(a_n)_{n=m}^\infty} converge tanto a {L} como a {L'}. Sea {\varepsilon=|L-L'|/3}; notar que {\varepsilon} es positivo ya que {L\ne L'}. Como {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {L}, sabemos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es eventualmente {\varepsilon}-cercano a {L}; así hay un {N\ge m} tal que {d(a_n,L)\le\varepsilon} para todo {n\ge N}. Similarmente, hay un {M\ge m} tal que {d(a_n,L')\le\varepsilon} para todo {n\ge M}. En particular, si fijamos {n:=\max(N,M)}, tenemos que {d(a_n,L)\le\varepsilon} y {d(a_n,L')\le\varepsilon}, por lo tanto, por la desigualdad triangular, tenemos {d(L,L')\le2\varepsilon=2|L-L'|/3}. Pero entonces tenemos {|L-L'|\le2|L-L'|/3}, lo que contradice el hecho que {|L-L'|>0}. Así, no es posible que converger a ambos {L} y {L'}. \Box

   Ahora que sabemos que los límites son únicos, podemos establecer una notación específica para ellos:

Definición 8 (Límites de sucesiones). Si una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a algún número real {L}, diremos que {(a_n)_{n=m}^\infty} es convergente y ue su límite es {L}; escribimos

\displaystyle  L = \lim_{n\rightarrow\infty}a_n

para denotar este hecho. Si una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} no es convergente a ningún número real {L}, diremos que la sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} es divergente y dejaremos {\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} indefinido.

   Notar que la Proposición 7 asegura que una sucesión puede tener a los sumo un límite. Así, si el límite existe, es un único número real, en cualquier otro caso es indefinido.

Observación 9. La notación {\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} no nos da ninguna indicación acerca del índice de arranque {m} de la sucesión, pero el índice de arranque es irrelevante (Ejercicio 3). Así en el resto de esta discusión no vamos a ser muy cuidadosos dónde inician las sucesiones, en tanto estaremos más centrado en sus límites.

Ejercicio 3. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números reales, sea {c} un número real, y sea {m'\ge m} un entero. Mostrar que {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {c} si y sólo si {(a_n)_{n=m'}^\infty} converge a {c}.

   En ocasiones usaremos la frase «{a_n\rightarrow x} cuando {n\rightarrow\infty}» como una manera alternativa de escribir la afirmación «{(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {x}». Considerar que aunque las afirmaciones individuales {a_n\rightarrow x} y {n\rightarrow\infty} no tienen ningún significado riguroso relevante; esta frase es sólo una convención, aunque por supuesto es bastante sugestiva.

Observación 10. La elección exacta de la letra usada para denotar el índice (en este caso {n}) es irrelevante: la frase {\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} tienen exactamente el mismo significado que {\lim_{k\rightarrow\infty}a_k}, por ejemplo. En ocasiones será conveniente cambiar la letra del índice para evitar conflictos de notación; por ejemplo, podríamos desear cambiar {n} por {k} porque {n} está simultáneamente usada para algún otro propósito, y queremos reducir la confusión. Ver Ejercicio 4.

Ejercicio 4. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión de números reales, sea {c} un número real, y sea {k\ge0} un entero no-negativo. Mostrar que {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {c} si y sólo si {(a_{n+k})_{n=m}^\infty} converge a {c}.

   Como un ejemplo de límite, presentamos

Proposición 11. Tenemos que {\lim_{n\rightarrow\infty}1/n=0}.

Demostración. Tenemos que mostrar que la sucesión {(a_n)_{n=1}^\infty} converge a {0}, donde {a_n:=1/n}. En otras palabras, para cada {\varepsilon>0}, necesitamos mostrar que la sucesión {(a_n)_{n=1}^\infty} es eventualmente {\varepsilon}-cercana a {0}. De manera que, sea {\varepsilon>0} un número real arbitrario. Tenemos que hallar un {N} tal que {|a_n-0|\le\varepsilon} para cada {n\ge N}. Pero si {n\ge N}, entonces

\displaystyle  |a_n-0|=|1/n-0|=1/n\le1/N.

Así, si cogemos {N>1/\varepsilon} (que es posible debido al Principio Arquimediano), entonces {1/N<\varepsilon}, y así {(a_n)_{n=1}^\infty} es {\varepsilon}-cercana a {0}. Así {(a_n)_{n=1}^\infty} es eventualmente {\varepsilon}-cercana a {0}. Ya que {\varepsilon} es arbitrario, {(a_n)_{n=1}^\infty} converge a {0}. \Box

Proposición 12 (Las sucesiones convergentes son Cauchy). Suponiendo que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión convergente de números reales. Entonces {(a_n)_{n=m}^\infty} también es una sucesión Cauchy.

Demostración. Ver Ejercicio 5. \Box

Ejercicio 5. Probar la Proposición 12. (Sugerencia: usar la desigualdad triangular o la Proposición 2.)

Ejemplo 2. La sucesión {1, -1, 1, -1, 1, -1, \dots} no es una sucesión Cauchy (porque no es eventualmente {1}-estable), y por lo tanto no es una sucesión convergente por la Proposición 12.

Observación 13. Para el recíproco de la Proposición 12, veremos un Teorema más adelante.

   Ahora mostraremos que los límites formales pueden ser sustituidos por los límites reales, así como la sustracción formal puede ser sustituida por la sustracción real, y la división formal, sustituida por la división real cuando se construyen los números racionales.

Proposición 14 (Los límites formales son límites genuinos). Suponiendo que {(a_n)_{n=m}^\infty} es una sucesión Cauchy de número racionales. Entonces {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n}, i.e.

\displaystyle  \text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n.

Demostración. Ver Ejercicio 6. \Box

Ejercicio 6. Probar la Proposición 14 usando e siguiente esquema. Sea {(a_n)_{n=m}^\infty} una sucesión Cauchy de racionales, y escribimos {L:=\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n}. Tenemos que mostrar que {(a_n)_{n=m}^\infty} converge a {L}. Sea {\varepsilon>0}. Asumiendo por contradicción que la sucesión {a_n} no es eventualmente {\varepsilon}-cercano a {L}. Usar esto, y el hecho que {(a_n)_{n=m}^\infty} es Cauchy, para mostrar que hay un {N\ge m} tal que tanto {a_n>L+\varepsilon/2} para todo {n\ge N} o {a_n<L-\varepsilon/2} para todo {n\ge N}. Entonces usar el siguiente hecho: sea {(a_n)_{n=1}^\infty} una sucesión Cauchy de racionales, y sea {x} un número real. Tenemos que si {a_n\le x} para todo {n\ge 1}, entonces {\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\le x}. Similarmente, si {a_n\ge x} para todo {n\ge 1}, entonces {\text{LIM}_{n\rightarrow\infty}a_n\ge x}.

Definición 15 (Sucesiones acotadas). Una sucesión {(a_n)_{n=m}^\infty} de números reales está acotada por un número real {M} ssi tenemos {|a_n|\le M} para todo {n\ge m}. Diremos que {(a_n)_{n=m}^\infty} está acotada ssi está acotada por {M} para algún número real {M>0}.

Esta definición es consistente con la definición para los racionales; ver Ejercicio 7.

Ejercicio 7. Mostrar que la Definición 15 es consistente con la definición de sucesiones acotadas para sucesiones racionales (i.e., probar un análogo de la Proposición 5 para sucesiones acotadas en lugar de sucesiones Cauchy).

Recordemos que toda sucesión Cauchy de números racionales está acotada. Una revisión de la demostración muestra que el mismo argumento funciona par los números reales; toda sucesión Cauchy de números reales está acotada. En particular, de la Proposición 12, vemos que

Corolario 16. Toda sucesión convergente de números reales está acotada.

Ejemplo 3. La sucesión {1, 2, 3, 4, 5,\dots} no está acotada, y por lo tanto no es convergente.

   Ahora podemos probar las leyes usuales del límite.

Teorema 17 (Leyes del límite). Sean {(a_n)_{n=m}^\infty} y {(b_n)_{n=m}^\infty} sucesiones convergentes de números reales, y sean {x,y} los números reales {x:=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n} e {y:=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}.

  1. La sucesión {(a_n+b_n)_{n=m}^\infty} converge a {x+y}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n.

  2. La sucesión {(a_nb_n)_{n=m}^\infty} converge a {xy}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\right)\left(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right).

  3. Para cualquier número real {c}, la sucesión {(ca_n)_{n=m}^\infty} converge a {cx}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}(ca_n)=c\lim_{n\rightarrow\infty}a_n.

  4. La sucesión {(a_n-b_n)_{n=m}^\infty} converge a {x-y}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n-\lim_{n\rightarrow\infty}b_n.

  5. Suponiendo que {y\ne0}, y que {b_n\ne0} para todo {n\ge m}. Entonces la sucesión {(b_n^{-1})_{n=m}^\infty} converge a {y^{-1}}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}b_n^{-1}=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right)^{-1}.

  6. Suponiendo que {y\ne0}, y que {b_n\ne0} para todo {n\ge m}. Entonces la sucesión {(a_n/b_n)_{n=m}^\infty} converge a {x/y}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}.

  7. La sucesión {(\max(a_n,b_n))_{n=m}^\infty} converge a {\max(x,y)}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}\max(a_n,b_n)=\max\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right).

  8. La sucesión {(\min(a_n,b_n))_{n=m}^\infty} converge a {\min(x,y)}; en otras palabras,

    \displaystyle  \lim_{n\rightarrow\infty}\min(a_n,b_n)=\min\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\right).

Demostración. Ver el Ejercicio 8. \Box

Ejercicio 8. Probar el Teorema 17. (Sugerencia: podemos usar algunas partes del teorema para probar otras, e.g., (b) puede ser usada para probar (c); (a), (c) pueden ser usadas para probar (d); y (b), (e) pueden ser usadas para probar (f). Las demostraciones son similares a las que se harían para los límites formales de racionales. Para (e), podemos necesitar probar antes el resultado auxiliar que cualquier sucesión cuyos elementos son distintos de cero, y que converge a un límite distinto de cero, está acotada lejos de cero.)

Ejercicio 9. Explicar por qué el Teorema 17(f) falla cuando el límite del denominador es {0}. (Para arreglar este problema se requiere la regla de L’Hôpital.)

Ejercicio 10. Mostrar que los conceptos de sucesión Cauchy equivalente, como se define para los racionales no cambia si {\varepsilon} se restringe a un real positivo en lugar de un racional positivo. Precisando, si {(a_n)_{n=m}^\infty} y {(b_n)_{n=m}^\infty} son sucesiones de reales, mostrar que {(a_n)_{n=m}^\infty} y {(b_n)_{n=m}^\infty} son eventualmente {\varepsilon}-cercanas para cualquier racional {\varepsilon>0} si, y sólo si, son eventualmente {\varepsilon}-cercanas para cualquier real {\varepsilon>0}. (Sugerencia: modificar la demostración de la Proposición 5.)

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