Hola a todos, nuevamente. 🙂 Estuve un tanto inactivo durante los dos últimos meses debido a Moni, el trabajo y otros proyectos. Pero bueno, estoy de vuelta con una serie de publicaciones sobre las sucesiones de números reales. Esta serie es, de hecho, la quinta de mis notas personales (requisito para el estudio de las series de números reales); parto de este tema que será base para posteriores publicaciones y como el producto otros que también realizaré sobre las bases de los sistemas numéricos.

   Tenemos definidos los números reales como límites formales de sucesiones (Cauchy) de racionales, y tenemos varias operaciones definidas sobre los números reales. No obstante, a diferencia de la construcción de los enteros (donde se reemplazan eventualmente las diferencias formales por las diferencias reales) y los racionales (donde se reemplazan los cocientes formales por los cocientes reales), todavía no hemos finalizado la construcción de los números reales, porque no hemos reemplazado los límites formales {\text{LIM}_{n\to\infty}a_n} con los límites reales {\lim_{n\to\infty}a_n}. De hecho, no hemos definido del todo a los límites.

   Empezaremos esta serie de publicaciones dando algunas definiciones sobre la proximidad entre dos números, como la distancia entre dos números reales:

Definición 1 (Distancia entre dos números reales). Dados dos números reales {x} e {y}, definimos su distancia {d(x,y)} como {d(x,y):=|x-y|}.

   También diremos cuán cercanos o próximos están dos números reales:

Definición 2 (Números reales {\varepsilon}-cercanía). Sea {\varepsilon>0} un número real. Diremos que dos números reales {x,y} son {\varepsilon}-cercanos ssi tenemos {d(y,x)\le\varepsilon}.

   Con estas definiciones representamos nuestra intuición sobre la distancia y la proximidad de números reales. Ambas nos permitirán iniciar nuestro estudio de las sucesiones de números reales.

   Hasta la próxima publicación. 🙂

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