Usualmente en un primer cursor de Análisis se asume que hay un cuerpo ordenado con la propiedad de la mínima cota superior, para luego desarrollar la teoría de sucesiones y series. Así que nuestro objetivo es probar la existencia y la unicidad (hasta una noción de isomorfismo) de tales objetos.

— 1. Unicidad —

Definición 1. Un cuerpo ordenado es un cuerpo {K} con el orden total {\le} tal que

  1. {\forall x,y,z \in K : x \leq y \implies x+z \leq y+z} (Transitividad).
  2. {\forall x,y \in K : 0 \leq x \land 0 \leq y \implies 0 \leq xy} (Positividad del producto).

   Además, definimos la función valor absoluto {\vert\cdot\vert: K\rightarrow K} mediante

\displaystyle  \vert x \vert = \begin{cases} x & \text{cuando } 0 \leq x \\ -x & \text{en cualquier otro caso.} \end{cases}

Ejercicio 1. Hay una definición alternativa de un cuerpo ordenado: se dice que {K} es ordenado cuando hay un subconjunto {P} de {K}, llamado elementos positivos de {K}, tal que

  1. {K} es la unión disjunta de {P}, {-P} y {\lbrace0\rbrace}.
  2. {x,y \in P \implies x+y \in P} y {xy \in P}.

Formalizar la afirmación «Las dos definiciones de cuerpo ordenado son equivalentes» y probar dicha equivalencia.

   Notemos que podríamos establecer que la desigualdad en la Definición 1 sea estricta, ya que {x<y\lor x=y\iff x\leq y} nos permite pasar entre ordenamientos estrictos y no estrictos sin ninguna complicación.

Definición 2. Sean {K} y {L} cuerpos ordenados. Un orden-preservado ({f} preserva el orden significa que {x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}) en un anillo homomórfico se dice que es un orden incrustado.

   Notar que cualquier incrustación debe ser inyectiva, pues el núcleo de un anillo homomórfico es un ideal y {0<1}.

Proposición 3. Si {K} es un cuerpo ordenado, entonces {K} tiene un subcuerpo isomórfico a {\mathbb Q}.

Ejercicio 2. Probar la Proposición 3 mostrando que {\varphi\colon\mathbb N\rightarrow K} definido por

\displaystyle  \varphi(n) = \underbrace{1+\dotsb+1}_{n \text{ } 1\text{s}}

extiende a una incrustación de {\mathbb Q} en {K}.

Definición 4. Un cuerpo ordenado {K} es un cuerpo arquimediano cuando, para todo {x} en {K} distinto de cero, hay un número natural {n} tal que {n|x|>1}, o equivalentemente: hay un número natural {n} tal que {n>|x|}.

Proposición 5. Sea {K} un cuerpo ordenado. Si {K} tiene la propiedad de la mínima cota superior, entonces {K} es arquimediano.

Ejercicio 3. Mostrar que el contrapositivo de la Proposición 5 considerando el conjunto

\displaystyle  I = \lbrace x\in K \;\vert\; 0<x\land\forall n\in\mathbb N: nx<1\rbrace.

Mostrar que {I} no es vacío, {1} es una cota superior para {I} e {I} no tiene mínima cota superior. [Sugerencia: asumir que {y} es la mínima cota superior y dividir en dos casos: (i) para {y\in I} y considerar {2y}, y (ii) para {y\notin I} considerar {y/2}.]

   Abusando un poco del lenguaje, los elementos de {I} puede llamarse infinitamente pequeños. Para un ejemplo de un cuerpo ordenado que no es arquimediano, considerar {\mathbb Q(X)}, el conjunto de las funciones racionales en una variable sobre {\mathbb Q} (ver algunos ejemplos de cuerpos que tienen un orden definido) donde {0<\frac1X<q} para todos los racionales positivos {q}.

   Ahora, vamos a considerar el orden topológico en un cuerpo ordenado y arquimediano, es decir, la topología generada por los intervalos abiertos {(a,b)} definidos de la maneara usual.

Ejercicio 4. Mostrar que los intervalos abiertos en un cuerpo ordenado {K} forman una base para una topología en {K}.

Proposición 6. Se tiene que {\mathbb Q} es denso en cualquier cuerpo arquimediano field {K}.

Demostración. (Esquema) Ya que los intervalos abiertos son una base, sólo se necesita verificar que cualquier intervalo abierto contiene un racional. Definamos la función techo {\lceil\cdot\rceil\colon K\rightarrow\mathbb Z} mediante

\displaystyle  \lceil x\rceil=\min\lbrace n\in\mathbb Z\;\vert\; n\geq x\rbrace,

que está bien definida ya que {K} es arquimediano.

   Ahora, sean {x\in K} y un {K\owns\varepsilon>0}. Ya que {K} es arquimediano, podemos hallar un {n\in\mathbb N} tal que {n\varepsilon>1}. Ahora tenemos:

\displaystyle  0\leq\left\lvert\frac{\lceil nx\rceil}{n}-x\right\rvert \leq\left\lvert\frac{\lceil nx\rceil-nx}{n}\right\rvert \leq\frac1n<\varepsilon.

Por lo tanto, tenemos {\frac{\lceil nx \rceil}{n}\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)} de lo que el resultado se cumple. \Box

Corolario 7. Se tiene que {\mathbb Q} es densamente ordenado en cualquier cuerpo arquimediano, i.e, cuando {K} es arquimediano, {x,y\in K} y {x<y}, hay un {q\in\mathbb Q} tal que {x<q<y}.

Proposición 8. Cualquier cuerpo arquimediano es 2do-numerable.

Ejercicio 5. Probar la Proposición 8. [Sugerencia: considerar el conjunto de los intervalos con puntos extremos racionales. Mostrar que es una base para una topología. Argumentar que esta es grande que la topología estándar, y luego mostrar que cualquier base para la topología estándar (i.e., un intervalo) contiene un intervalo con puntos extremos racionales.]

Proposición 9. Cualquier cuerpo arquimediano {K} es un cuerpo topológico, i.e., {K\times K\owns (x,y)\mapsto x+y\in K}, {K^\times \times K^\times\owns (x,y) \mapsto xy \in K^\times} y {K^\times\owns x\mapsto x^{-1}\in K^\times} son continúas.

Ejercicio 6. Probar la Proposición 9. [Sugerencia: considerar las sucesiones {x_n} e {y_n} que convergen a {x} e {y} respectivamente; luego, usar el hecho que esas sucesiones convergentes son acotadas.]

   Notar que la Proposición 9 de hecho se cumple para cuerpos ordenados también. Sólo hay que considerar redes en su lugar.

Definición 10. Sea {G} un grupo topológico. Una sucesión {(x_n)} en {G} se dice que es una sucesión de Cauchy cuando, para cualquier vecindad {U} de {e}, existe un {N} tal que {m,n \geq N \implies x_nx_m^{-1} \in U}. Denotaremos el conjunto de las sucesiones de Cauchy en {G} mediante {G^\mathbb{N}_c}.

   Observemos que esta definición también puede usarse para definir redes de Cauchy en grupos topológicos, pero no los vamos a necesitar. También, observemos que los intervalos con puntos extremos racionales nos da una base numerable en {0} en cualquier cuerpo arquimediano, de manera que veremos que para cualquier cuerpo arquimediano, la definición se reduce a lo siguiente:

\displaystyle  \forall\varepsilon\in\mathbb Q^+\exists N : n,m \geq N\implies |x_n-x_m|<\varepsilon.

Proposición 11. Sea {K} un cuerpo arquimediano y {(x_n)} una sucesión en {K}. Se cumple lo siguiente:

  1. Si {(x_n)} es convergente, entonces {(x_n)} es una sucesión de Cauchy, y cualquier subsucesión de {(x_n)} converge al mismo límite.
  2. Si {(x_n)} es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.
  3. Si {(x_n)} es acotada, entonces {(x_n)} tiene una subsucesión de Cauchy (pre Bolzano-Weierstraß).
  4. Si {(x_n)} es un sucesión de Cauchy, entonces cualquier subsucesión es una sucesión de Cauchy. Además, si {(x_n)} tiene una subsucesión convergente, entonces {(x_n)} converge al mismo límite.
  5. Si {(x_n)} es una sucesión de Cauchy y {(x_{k_n})} es una subsucesión, entonces {\lim_{n \rightarrow \infty} |x_n - x_{k_n}| = 0}.

Ejercicio 7. Probar la Proposición 11.

Proposición 12. Sea {K} un cuerpo arquimediano. Las siguiente afirmaciones son equivalentes:

  1. {K} tiene la propiedad de la mínima cota superior.
  2. Cualquier sucesión de Cauchy en {K} es convergente ({K} es completo).

Ejercicio 8. Analizar el siguiente esquema de prueba de la Proposición 12:

Demostración. ({1\!\Rightarrow\!2}) Sea {(x_n)} una sucesión de Cauchy en {K}. Si {(x_n)} es eventualmente constante, obviamente es convergente, de manera que asumiendo que no lo es y considerando el conjunto

\displaystyle  X=\lbrace x\in K\;\vert\;\exists N\in\mathbb N : n\geq N\implies x<x_n \rbrace,

tenemos que {X} es no vacío y tiene una cota superior (¿por qué?) y así {\sup X} existe, y postulamos que {x_n \rightarrow\sup X}. Dado un {\varepsilon>0}, hallamos {N} tal que {|x_n-x_m|<\frac\varepsilon2}, y consideramos el intervalo {(x_N-\frac\varepsilon2, x_N+\frac\varepsilon2)}. Hay sólo finitos elementos de la sucesión fuera de este intervalo, de modo que {x_N-\frac\varepsilon2\in X}. Además, {x+\frac\varepsilon2} es una cota superior para {X}. La desigualdad triangular (nota: probar la desigualdad triangular para cuerpos arquimedianos) ahora nos da

\displaystyle  |x_n-\sup X|\leq|x_n-x_N|+|x_N-\sup X|<\varepsilon.

({2\!\Rightarrow\!1}) Sea {A\subset K} no vacío y acotado superiormente por {y_0\in K}. Sea {x_0} algún elemento que no es cota superior para {A}, e.g., tenemos {a-1} para algún {a\in A}, y recursivamente define un pair de sucesiones {(x_n)} e {(y_n)} sobre {\mathbb N_0} mediante

\displaystyle  \begin{array}{rl} y_{n+1} & = \begin{cases} \displaystyle\frac{y_n + x_n}{2} & \text{si } \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} \text{ es una cota superior para } A, \\ y_n & \text{en cualquier otro caso} \end{cases} \\ x_{n+1} & = \begin{cases} \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} & \text{si } \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} \text{ no es una no cota superior para } A, \\ x_n & \text{en cualquier otro caso.} \end{cases} \end{array}

Por inducción tenemos que {(x_n)} es creciente, {(y_n)} es decreciente, y para todo {i,j}: {x_i\leq y_j}. Igualmente, por inducción tenemos que para todo {i}: {0\leq y_i-x_i \leq 2^{-i}(y_0-x_0)}. Ahora es sencillo mostrar que {(y_n)} es una sucesión de Cauchy. Asumiendo que {n\geq m} y tenemos:

\displaystyle  \begin{array}{rl} y_m-y_n & = y_m - y_{m+1} + y_{m+1} - \dotsb - y_{n-1} + y_{n-1} - y_n \\ & \leq (2^{-m-1} + 2^{-m-2} + 2^{-n})(y_0 - x_0) \\ & \leq 2^{-m}(y_0 - x_0) \end{array}

de lo que es fácil concluir que {(y_n)} es Cauchy. Similarmente, se muestra que {(x_n)} es Cauchy. Así, ambas sucesiones son convergentes, y sus límites debe ser el mismo ya que {y_n-x_n\leq 2^{-n}(y_0-x_0)}. Denotemos este límite por {s}. Finalmente, observemos que para todo {a\in A}, {a\leq y_n}, de manera que {a\leq s} (¿por qué?), i.e., {s} es una cota superior para {A}. Además, cuando {u} es una cota superior para {A}, se tiene que {x_n\leq u} para todo {n}; así, {s \leq u} (¿por qué?). Por lo tanto, {s} es la mínima cota superior para {A}. \Box

Proposición 13. Sean {K} y {L} cuerpos arquimedianos. Si {f\colon K\rightarrow L} y {g\colon L\rightarrow K} están incrustados, entonces {K} y {L} son isomórficos.

Demostración. Sea {g\circ f=\phi\colon K\rightarrow K}. Por definición, {\phi} está incrustada. Asumiendo que {\phi} no es la identidad. Entonces existe un {x} para el cual {\phi(x)\neq x}. Hallar un {q\in\mathbb Q} entre {x} y {\phi(x)} y observar que {\phi} tiene que se la identidad en {\mathbb Q}, pero no puede preservar el ordenamiento de {x} y {q}. Esto da una contradicción, y así {\phi} debe ser la identidad. La prueba que {f \circ g} es la identidad es similar. \Box

Lema 14. Sean {G} y {H} be grupos topológicos y sea {G'} un subgrupo denso de {G}. Si {\phi\colon G\rightarrow H} es continúo y {\phi|_{G'}} es un homomorfismo, entonces {\phi} e un homomorfismo.

Demostración. Sea {x,y\in G} y asumamos que {\phi(xy)\neq\phi(x)\phi(y)}. Ya que {G'} es denso, existe una red {(x_\alpha)} y {(y_\alpha)} en {G'} convergiendo hacia {x} e {y} respectivamente. Ya que {\phi} es un homomorfismo sobre {G'}, tenemos que para todo {\alpha} que {\phi(x_\alpha y_\alpha)=\phi(x_\alpha)\phi(y_\alpha)}, y ya que {\phi} es continuo y {\cdot} es continuo, tenemos que {\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)}. \Box

Observación 15. Esto no es un uso vacuo del reductio ad absurdum, ya que una prueba directa podría tener que trabajar con redes arbitrarias convergiendo hacia {x} e {y}. Por supuesto, este lema se puede generalizar para aplicar también a anillos en una manera usual.

Teorema 16 (Teorema de incrustados para cuerpos arquimedianos). Sean {K} y {L} cuerpos arquimedianos donde {L} es completo. Entonces hay un incrustado {\phi\colon K\rightarrow L}.

Demostración. Definamos {\phi\colon K\rightarrow L} mediante {\phi(x)=\sup\lbrace q\in\mathbb Q\;\vert\; q<x\rbrace}. Es sencillo mostrar que {\phi} preserva el orden, de manera que sólo la parte dura está mostrando que es un homomorfismo. Deseamos usar el lema precedente, de modo que primero notemos que es obvio que la restricción de {\phi} a {\mathbb Q} es la identidad, de manera que sólo la parte dura está verificando que es continua. Consideremos un {k\in K} y sea {V} una vecindad de {\phi(k)}. Hallar racionales {p} y {q} tal que {\phi(k)\in(p,q)\subset V}. Postulamos que {\phi((p,q))\subset(p,q)}. Sea {k'\in(p,q)\subset K} y hallamos {q'\in\mathbb Q} tal que {p<k'<q'<q}. Es sencillo ver que {p<\phi(k')\leq q'<q}, así {\phi(k')\in(p,q)}, y concluimos que {\phi} es continua.. \Box

Teorema 17 (Unicidad del cuerpo ordenado completo). Existe un, y sólo un, cuerpo ordenado completo con un isomorfismo que preserva el orden.

Demostración. Sean {K} y {L} cuerpos ordenados completos. El Teorema 16 incrusta {\phi\colon K\rightarrow L} y {\varphi\colon L\rightarrow K}. La Proposición 12 nos muestra que {K} y {L} son isomórficos. \Box

— 2. Existencia —

   Ya hemos comentado mucho acerca de la unicidad, por lo que ahora escribiremos menos. Recordemos que {\mathbb Q} bajo la adición es un grupo topológico, de manera que usaremos la notación establecida antes para su conjunto de sucesiones de Cauchy: {\mathbb Q^\mathbb N_c}.

Proposición 18. Se tiene que {\mathbb Q^\mathbb N_c} es un anillo unitario conmutativo bajo la adición y la multiplicación por coordenadas.

Ejercicio 9. Probar la Proposición 18.

Proposición 19. El conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy que convergen a cero, i.e.,

\displaystyle  \mathfrak z = \left\lbrace (z_n) \in \mathbb Q^\mathbb N_c \;\bigg\vert\; z_n \rightarrow 0 \right\rbrace,

es un ideal maximal en {\mathbb Q^\mathbb N_c}.

Ejercicio 10. Probar la Proposición 19. [Sugerencia: considerar un ideal{\mathfrak a\supset\mathfrak z} con un {(q_n)\in\mathfrak a\setminus\mathfrak z}. Mostrar que hay un {N} tal que {n\geq N\implies q_n\neq0} y considerar que la sucesión {(z_n)=(1-q_1,\dotsc,1-q_N,0,0,\dotsc)}. Argumentar que {(q_n+z_n)\in\mathfrak a} y concluir que {\mathfrak a=\mathbb Q^\mathbb N_c}.]

   Así {\mathfrak z} es un ideal maximal y, por lo tanto, el cociente, que vamos a denotar por {R}, debe ser un cuerpo. Desde aquí, el resto es un esquema que tiene varios detalles por verificar y que son bastante aburridas. 🙂

   Adoptaremos el convenio de escribir las sucesiones con negrita, e.g., escribiremos {(x_n) = {\bf x}} y usaremos la notación {[{\bf x}]} para una clase equivalente que contiene a {{\bf x}}.

   Definimos {<} en {R} mediante {[{\bf p}]<[{\bf q}]\iff\exists (p_n)\in [{\bf p}], (q_n)\in[{\bf q}],\alpha\in\mathbb{Q}^+ : p_n < q_n + \alpha \text{ eventualmente}}. En particular, notar que la existencia del positivo {\alpha} no puede ser descartado; e.g., considerar {(1/n)}, {(0)} y {(-1/n)}. Sin el requisito que ese positivo {\alpha} existe, tendríamos {0 < 0}, que es claramente tonto.

Ejercicio 11. Verificar que cuando {(p_n)\in[{\bf p}]} y {(q_n) \in [{\bf q}]} son muestras que {[{\bf p}] < [{\bf q}]}, entonces cualquier par de representantes funcionarán bien, i.e., si {(p'_n)\in[{\bf p}]} y {(q'_n) \in [{\bf q}]}, entonces {(p'_n)} y {(q'_n)} también son muestras.

Ejercicio 12. Mostrar que {<} es un orden total estricto, i.e., se tiene que {<} irreflexivo, transitivo y total. [Sugerencia (para totalidad): necesitas mostrar que sólo uno de {[{\bf x}]<[{\bf y}]}, {[{\bf x}]=[{\bf y}]} o {[{\bf y}]<[{\bf x}]} se cumple, de manera que primero se tiene que mostrar que al menos uno de ellos se cumple, asumiendo que ninguno de ellos se cumple y se obtiene una contradicción; luego, mostrar que a lo más uno de ellos se cumple, igualmente, por contradicción usando que {[{\bf x}]\nless[{\bf y}]\iff[{\bf y}]\leq[{\bf x}]}. Probablemente necesitará pasar muchas veces a subsucesiones «más agradables», de manera que la Proposición 11(e) será muy útil.]

   Y ahora podemos descansar un poco y cosechar la recompensa con estos ejercicios sencillos:

Ejercicio 13. Mostrar que {R} es un cuerpo ordenado.

Ejercicio 14. Mostrar que {R} es arquimediano.

Ejercicio 15. Completar los detalles del siguiente esquema de prueba que cualquier sucesión de Cauchy en {R} es convergente:

Demostración. Empezando con una sucesión arbitraria de Cauchy {([{\bf q}]^i)} de clases equivalentes, la Proposición 11(d) nos permite asumir que para todo {i,j} con {j\geq i} que {\left\lvert[{\bf q}]^i-[{\bf q}]^j]\right\rvert<4^{-i}}. Observar que la convergencia significa que se tiene que mostrar que alguna de las desigualdades se cumple, de manera que sólo se necesita mostrar que se cumple para algunos representantes, así estamos en libertad de elegir los que más nos gusten. 🙂

   Elegir los representantes, {(q^i_n)}, tal que {|q^i_n - q^i_m| < 4^{-n}}.

   Tomar {{\bf x}=(q^1_1,q^2_2,\dotsc)}. Esto es obviamente una sucesión de Cauchy (¿por qué?), y postulamos que {[{\bf q}]^i \rightarrow [{\bf x}]}. Convéncete que esto es lo mismo que

\displaystyle  \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+ \exists K,N : k \geq K, n \geq N \implies \left\lvert q^k_n - q^n_n \right\rvert < \varepsilon.

   Notar que el requisito de existencia del positivo {\alpha} se deja de lado ya que tenemos que se cumple que para cualquier {\varepsilon>0}. De manera que dejamos {\varepsilon>0} tal cual. Usamos el truco de insertar un elemento apropiado en la desigualdad {|q^k_n - q^n_n| \leq |q^k_n - q^k_k| + |q^k_k - q^n_n|} y usamos el hecho que ambas, la sucesión y el representante, tiene la “{4^{-m}}“-propiedad para concluir que si elegimos {N,K} tales que {N=K} y {2^{-N}<\varepsilon}, entones el LD es eventualmente menor que {\varepsilon}. \Box

   Hasta aquí, hemos cumplido, y tenemos las licencias para conducirnos con los números reales. 🙂

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