Supongamos que {x} e {y} son números irracionales. ¿Son {x+y} y {x-y} también irracionales? ¿Pueden ser racionales?

— 1. Un breve ejemplo —

   La respuesta es que no necesariamente es cierto; por ejemplo, tenemos que {\sqrt2, \sqrt2-1, 1-\sqrt2} son irracionales, pero

\displaystyle  \sqrt2+(1-\sqrt2)=1\in\mathbb Q

y

\displaystyle  \sqrt2-(\sqrt2-1)=1\in\mathbb Q.

— 2. Una proposición fuerte —

   Sin embargo, es importante notar que cuando {x} e {y} son irracionales, {x+y} o {x-y} es irracional inclusive; es decir, no se puede tener a ambos {x+y} y {x-y} irracionales.

Demostración. Si tanto {x+y} como {x-y} son racionales, tenemos que {x+y=p_1/q_1} y {x-y=p_2/q_2}, donde {p_1,p_2\in\mathbf Z} y {q_1,q_2\in\mathbf Z\setminus\{0\}}. Por lo tanto,

\displaystyle  x=\frac{\displaystyle\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}}2=\frac{p_1q_2+p_2q_1}{2q_1q_2}

e

\displaystyle  y=\frac{\displaystyle\frac{p_1}{q_1}-\frac{p_2}{q_2}}2=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{2q_1q_2}.

Luego, tenemos que {p_1q_2+p_2q_1, p_1q_2-p_2q_1 \in \mathbf Z}, mientras que {2q_1q_2\in\mathbf Z\setminus\{0\}}, lo que contradice el hecho que {x} e {y} son irracionales. Así, o bien {x+y} es irracional o bien {x-y} es irracional inclusive. \Box

— 3. Proposiciones a saber —

Proposición 1. La suma de dos números racionales es un número racional.

Demostración. Sean {p_1/q_1} y {p_2/q_2} dos números racionales, donde {p_1,p_2\in\mathbf Z} y {q_1,q_2\in\mathbf Z\setminus\{0\}}. Así

\displaystyle  \frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1q_2+p_2q_1}{2q_1q_2},

donde {p_1q_2+p_2q_1\in\mathbf Z} y {2q_1q_2\in\mathbf Z\setminus\{0\}}. Por lo tanto, la suma también es racional. \Box

Proposición 2. La suma de un número racional y un número irracional siempre es un número irracional.

Demostración. Sea un número racional de la forma {p/q}, donde {p\in\mathbf Z} y {q\in\mathbf Z\setminus\{0\}}, y sea {r} un número irracional. Si {r+p/q} es racional, tenemos que {r+p/q=a/b} para algunos {a\in\mathbf Z} y {b\in\mathbf Z\setminus\{0\}}. Esto quiere decir que

\displaystyle  r=\frac{a}b-\frac{p}q=\frac{aq-bp}{bq},

donde {aq-bp\in\mathbf Z} y {bq\in\mathbf Z\setminus\{0\}}, lo que contradice el hecho que {r} es irracional. Así, nuestro hipótesis inicial que {r+p/q} es un número racional es falsa. Por lo tanto, concluimos que {r+p/q} es un número irracional. \Box

Proposición 3. La suma de dos número irracionales puede ser un número racional o un número irracional.

   Por ejemplo, tenemos que {\sqrt2} es irracional, y {\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2} también es irracional. Mientras que {\sqrt2} y {1-\sqrt2} son irracionales, pero {\sqrt2+(1-\sqrt2)=1} es racional. (Notar que {1-\sqrt2} es irracional por la segunda proposición.)

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