You are currently browsing the monthly archive for diciembre 2015.

   Nuestra educación de los sistemas numéricos se inicia con la enseñanza de los números naturales y sus operaciones. Luego, extendemos estos números con los negativos formando los enteros. Seguimos con las fracciones para los racionales. Posteriormente, pasamos con los decimales para los reales (y los racionales). Terminamos con el sistema de los números complejos. No obstante, no confundamos la cosa en sí con aquello que usamos para representarlo; por ejemplo, existe un juego con peones, reyes, alfiles, caballos y torres, y tenemos varias palabras para representar la idea de ese juego como ajedrez, chess, Schach, etc.

   Los números son como el ajedrez: podemos representarlos por fracciones, decimales, entre otros. El número imaginario {i} puede representarse mediante

\displaystyle  i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Esto puede parecer confuso porque uno podría nunca haber pensado en un número como una matriz. Pero las propiedades del número imaginario se mantienen con esta representación, como {i\cdot i=-1}. Incluso, es más confuso el hecho que es podemos representar muchas otras cantidades con

\displaystyle  e^{i\theta} = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

   Ahora bien, cualquier número compejo se puede representar mediante matrices:

\displaystyle  a+bi=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}.

Sumar y multiplicar números complejos equivale a sumar y multiplicar estas matrices. Lo que significa que la colección de matrices

\displaystyle  R=\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb R\right\}

es isomórfico al cuerpo de los números complejos.

   En particular, tenemos que

\displaystyle  i=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

Notemos que para esta matriz se cumple {i^2=-I_2=-1}.

¿Cómo nos ayuda esto? Pues, nos permite construir los números complejos desde matrices sobre número reales. Lo que ayuda a estudiar algunas propiedades de los números complejos mediante el Álgebra lineal.

   Por ejemplo, el módulo de un número complejo es {|a+bi|=a^2+b^2}. Lo que es lo mismo que la determinante de la matriz que representa al mismo número complejo. Ahora, ya que la determinante de un producto es el producto de las determinantes, obtenemos que {|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|} para cualquier par de números complejos {z_1} y {z_2}.

   Otro punto interesante es que la transpuesta equivale a la conjugación.

— 1. Un poco de la fórmula de Euler —

   La función exponencial puede definirse de diversas maneras. Una manera muy bonita es via su serie de MacLaurin: {e^x = 1+x+x^2/2!+\cdots}. En vez de pensar en {x} como una especie de indeterminada, podemos preguntarnos «¿qué idea puedo? asociar con esta serie?» Resulta que la serie

\displaystyle  e^A = I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots

converge para cualquier matriz cuadrada {A} for any square matrix {A}. (Hay que dar un sentido a «una serie de matrices convergente».)

   Consideremos un número real {x} representado como una de nuestras matrices:

\displaystyle  x=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix},

luego

\displaystyle  \begin{aligned} e^x&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x^2/2&0\\0&x^2/2\end{pmatrix}+\cdots\\ &=\begin{pmatrix}1+x+x^2/2+\cdots&0\\0&1+x+x^2/2+\cdots\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}e^x&0\\0&e^x\end{pmatrix}\\ &=e^x. \end{aligned}

De manera que no es sorprendente que la matriz exponencial y la exponenciación real usual sean la misma cosa.

   Ahora podemos preguntarnos, ¿qué obtenemos de la exponencial de un número complejo? Resulta que, dado

\displaystyle  a+bi=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix},

luego

\displaystyle  e^{a+bi}=\begin{pmatrix}e^a\cos(b)&-e^a\sin(b)\\ e^a\sin(b)&e^a\cos(b)\end{pmatrix}.

Esto involucra algo de Álgebra lineal.

   De todos modos, hemos hallado que {e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))}. Específicamente, tenemos

\displaystyle  e^{i\theta}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}.

De manera que

\displaystyle  e^{i\pi}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-1.

   Hemos visto que la exponenciación compleja (con un exponente imaginario puro) produce una matriz rotada. Así, nos lleva a asociar la aritmética compleja con las transformaciones geométricas dimensionales 2.

   Desde luego, hay otras manera de llegar a muchas de estas relaciones de los complejos. La via usando matrices no es la más rápida ni la más sencilla, pero es intersante de contemplar. 🙂

— 2. Operador isomórfico —

   La cuestión es que el operador {\phi\colon\mathbb C\rightarrow\mathcal R}, donde {\mathcal R=\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\}_{a,b\in\mathbb R}} definido por {\phi(a+ib)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}} que satisface unas cuantas condiciones, como que {\phi} es una biyección; {\phi(1)=I}, {\phi(z_1z_2)=\phi(z_1)\phi(z_2)}, donde la multiplicación es la multiplicación de números complejos en el lado izquierdo y la multiplicación matricial en el lado derecho; y similarlmente {\phi(z_1+z_2)=\phi(z_1)+\phi(z_2)}, donde {+} como en la multiplicación corresponde a {\mathbb R} y {\mathcal R}.

   Adicionalmente, tenemos {|z|=\|\phi(z)\|} (inducido por la norma euclideana), de manera que cuando {|z|=1}, podemos escribir {z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta} y {\phi(e^{i\theta})=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}. También, tenemos {\phi(\bar{z})=\phi(z)^T}.

   Podemos escribir {\phi(z)=\phi(\Re z)+\phi(\Im z)\phi(i)=(\Re z)I+(\Im z)J}, donde {I} es la matriz indentidad y {\phi(i)=J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}} (un tanto desafortunado que {i} se asigne a {J}). Por supuesto, {\mathcal R=\text{span}\{ I, J\}} y {J^2=-I}.

   Ya que {\phi} es una isometría, vemos que cuando {f} tiene una representación de serie de potencias {f(z)=\sum_k f_k z^k} para {z\in B(z_0,R)}, tenemos {\phi(f(z))=\phi(\sum_k f_k z^k)=\sum_k \phi(f_k)\phi(z)^k}. Las representaciones para {\exp, \sin, \cos}, etc. se siguen de este hecho.

   La operación {\phi} se conoce como isomorfismo de anillo. Indentifica a la multiplicación compleja con escalas y rotaciones en {\mathbb R^2} que provee alguna perspectiva geométrica.

— 3. De complejos a matrices —

   Sean

\displaystyle  I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

y

\displaystyle  J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

   Ya que {I} es la matriz identidad, multiplicando en la izquiera o la derecha, deja las matrices intactas. Así, tenemos que {I} tiene las propiedades de {1}.

   El hecho clave aqui es que {J^2=-I}. Cuando {I} representa {1}, tenemos que {J} representaría {i}.

   Como mencionamos antes, {I} conmuta con todas las matrices; en particular, con {J}. Esto es {IJ=J=JI}.

   La multiplicación escalar y matricial se distribuyen sobre la adición matricial. Por lo tanto,

\displaystyle  (xI+yJ)+(uI+vJ)=(x+u)I+(y+v)J \qquad(1)

y

\displaystyle  (xI+yJ)(uI+vJ)=(xu-yv)I+(xv+yu)J \qquad(2)

Con {I} representando {1} y {J} representado {i}, {(1)} y {(2)} se corresponden exactamente con la adición compleja y la multiplicación compleja.

   Como las funciones analíticas pueden escribirse como series involucando la adición y multiplicación de números complejos, estas funciones puedes traducirse directamente a las funciones correspondientes involucrando {I} y {J}.

   Por ejemplo,

\displaystyle  \begin{aligned} \exp(xI+yJ) &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI+yJ)^n}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{n!}\binom{n}{k}(xI)^{n-k}(yJ)^k\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(xI)^{n-k}}{(n-k)!}\frac{(yJ)^k}{k!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI)^n}{n!}\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^k}{k!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{(xI)^n}{n!}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{(yJ)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}I\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{y^{2k}}{(2k)!}I+\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}J\right)\\ &=e^xI(\cos(y)I+\sin(y)J)\\ &=e^x\cos(y)I+e^x\sin(y)J \qquad(3) \end{aligned}

   Podemo reescribir {(3)} como

\displaystyle  \exp\left(\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}e^x\cos(y)&-e^x\sin(y)\\e^x\sin(y)&e^x\cos(y)\end{pmatrix}

   En este sentido, podemos reformular casi cualquier fórmula que involucra números complejos en términos de matrices usando el isomorfismo

\displaystyle  x+yi\leftrightarrow\overbrace{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}^{xI+yJ}

Por ejemplo, el conjugado complejo es representado por la transpuesta

\displaystyle  \overline{x+yi}=x-yi\leftrightarrow\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}^T

y el cuadrado del valor absoluto es representado por la determinante {I} veces

\displaystyle  \begin{aligned} |x+yi|^2 =(x+yi)\overbrace{(x-yi)\vphantom{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}^{\text{conjugado}} &\leftrightarrow\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix} \overbrace{\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}^{\text{transpuesta}}\\ &=\begin{pmatrix}x^2+y^2&0\\0&x^2+y^2\end{pmatrix}\\ &=\det\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}I \end{aligned}

No sorprende que el recíprico es representado por la matriz inversa

\displaystyle  \begin{array}{ccc} \dfrac1{x+yi}&=&\dfrac{x-yi}{|x+yi|^2}\\ \updownarrow&&\updownarrow\\ \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}^{-1} &=&\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}\left(\det\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}I\right)^{-1}. \end{array}

   Usualmente en un primer cursor de Análisis se asume que hay un cuerpo ordenado con la propiedad de la mínima cota superior, para luego desarrollar la teoría de sucesiones y series. Así que nuestro objetivo es probar la existencia y la unicidad (hasta una noción de isomorfismo) de tales objetos.

— 1. Unicidad —

Definición 1. Un cuerpo ordenado es un cuerpo {K} con el orden total {\le} tal que

  1. {\forall x,y,z \in K : x \leq y \implies x+z \leq y+z} (Transitividad).
  2. {\forall x,y \in K : 0 \leq x \land 0 \leq y \implies 0 \leq xy} (Positividad del producto).

   Además, definimos la función valor absoluto {\vert\cdot\vert: K\rightarrow K} mediante

\displaystyle  \vert x \vert = \begin{cases} x & \text{cuando } 0 \leq x \\ -x & \text{en cualquier otro caso.} \end{cases}

Ejercicio 1. Hay una definición alternativa de un cuerpo ordenado: se dice que {K} es ordenado cuando hay un subconjunto {P} de {K}, llamado elementos positivos de {K}, tal que

  1. {K} es la unión disjunta de {P}, {-P} y {\lbrace0\rbrace}.
  2. {x,y \in P \implies x+y \in P} y {xy \in P}.

Formalizar la afirmación «Las dos definiciones de cuerpo ordenado son equivalentes» y probar dicha equivalencia.

   Notemos que podríamos establecer que la desigualdad en la Definición 1 sea estricta, ya que {x<y\lor x=y\iff x\leq y} nos permite pasar entre ordenamientos estrictos y no estrictos sin ninguna complicación.

Definición 2. Sean {K} y {L} cuerpos ordenados. Un orden-preservado ({f} preserva el orden significa que {x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}) en un anillo homomórfico se dice que es un orden incrustado.

   Notar que cualquier incrustación debe ser inyectiva, pues el núcleo de un anillo homomórfico es un ideal y {0<1}.

Proposición 3. Si {K} es un cuerpo ordenado, entonces {K} tiene un subcuerpo isomórfico a {\mathbb Q}.

Ejercicio 2. Probar la Proposición 3 mostrando que {\varphi\colon\mathbb N\rightarrow K} definido por

\displaystyle  \varphi(n) = \underbrace{1+\dotsb+1}_{n \text{ } 1\text{s}}

extiende a una incrustación de {\mathbb Q} en {K}.

Definición 4. Un cuerpo ordenado {K} es un cuerpo arquimediano cuando, para todo {x} en {K} distinto de cero, hay un número natural {n} tal que {n|x|>1}, o equivalentemente: hay un número natural {n} tal que {n>|x|}.

Proposición 5. Sea {K} un cuerpo ordenado. Si {K} tiene la propiedad de la mínima cota superior, entonces {K} es arquimediano.

Ejercicio 3. Mostrar que el contrapositivo de la Proposición 5 considerando el conjunto

\displaystyle  I = \lbrace x\in K \;\vert\; 0<x\land\forall n\in\mathbb N: nx<1\rbrace.

Mostrar que {I} no es vacío, {1} es una cota superior para {I} e {I} no tiene mínima cota superior. [Sugerencia: asumir que {y} es la mínima cota superior y dividir en dos casos: (i) para {y\in I} y considerar {2y}, y (ii) para {y\notin I} considerar {y/2}.]

   Abusando un poco del lenguaje, los elementos de {I} puede llamarse infinitamente pequeños. Para un ejemplo de un cuerpo ordenado que no es arquimediano, considerar {\mathbb Q(X)}, el conjunto de las funciones racionales en una variable sobre {\mathbb Q} (ver algunos ejemplos de cuerpos que tienen un orden definido) donde {0<\frac1X<q} para todos los racionales positivos {q}.

   Ahora, vamos a considerar el orden topológico en un cuerpo ordenado y arquimediano, es decir, la topología generada por los intervalos abiertos {(a,b)} definidos de la maneara usual.

Ejercicio 4. Mostrar que los intervalos abiertos en un cuerpo ordenado {K} forman una base para una topología en {K}.

Proposición 6. Se tiene que {\mathbb Q} es denso en cualquier cuerpo arquimediano field {K}.

Demostración. (Esquema) Ya que los intervalos abiertos son una base, sólo se necesita verificar que cualquier intervalo abierto contiene un racional. Definamos la función techo {\lceil\cdot\rceil\colon K\rightarrow\mathbb Z} mediante

\displaystyle  \lceil x\rceil=\min\lbrace n\in\mathbb Z\;\vert\; n\geq x\rbrace,

que está bien definida ya que {K} es arquimediano.

   Ahora, sean {x\in K} y un {K\owns\varepsilon>0}. Ya que {K} es arquimediano, podemos hallar un {n\in\mathbb N} tal que {n\varepsilon>1}. Ahora tenemos:

\displaystyle  0\leq\left\lvert\frac{\lceil nx\rceil}{n}-x\right\rvert \leq\left\lvert\frac{\lceil nx\rceil-nx}{n}\right\rvert \leq\frac1n<\varepsilon.

Por lo tanto, tenemos {\frac{\lceil nx \rceil}{n}\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)} de lo que el resultado se cumple. \Box

Corolario 7. Se tiene que {\mathbb Q} es densamente ordenado en cualquier cuerpo arquimediano, i.e, cuando {K} es arquimediano, {x,y\in K} y {x<y}, hay un {q\in\mathbb Q} tal que {x<q<y}.

Proposición 8. Cualquier cuerpo arquimediano es 2do-numerable.

Ejercicio 5. Probar la Proposición 8. [Sugerencia: considerar el conjunto de los intervalos con puntos extremos racionales. Mostrar que es una base para una topología. Argumentar que esta es grande que la topología estándar, y luego mostrar que cualquier base para la topología estándar (i.e., un intervalo) contiene un intervalo con puntos extremos racionales.]

Proposición 9. Cualquier cuerpo arquimediano {K} es un cuerpo topológico, i.e., {K\times K\owns (x,y)\mapsto x+y\in K}, {K^\times \times K^\times\owns (x,y) \mapsto xy \in K^\times} y {K^\times\owns x\mapsto x^{-1}\in K^\times} son continúas.

Ejercicio 6. Probar la Proposición 9. [Sugerencia: considerar las sucesiones {x_n} e {y_n} que convergen a {x} e {y} respectivamente; luego, usar el hecho que esas sucesiones convergentes son acotadas.]

   Notar que la Proposición 9 de hecho se cumple para cuerpos ordenados también. Sólo hay que considerar redes en su lugar.

Definición 10. Sea {G} un grupo topológico. Una sucesión {(x_n)} en {G} se dice que es una sucesión de Cauchy cuando, para cualquier vecindad {U} de {e}, existe un {N} tal que {m,n \geq N \implies x_nx_m^{-1} \in U}. Denotaremos el conjunto de las sucesiones de Cauchy en {G} mediante {G^\mathbb{N}_c}.

   Observemos que esta definición también puede usarse para definir redes de Cauchy en grupos topológicos, pero no los vamos a necesitar. También, observemos que los intervalos con puntos extremos racionales nos da una base numerable en {0} en cualquier cuerpo arquimediano, de manera que veremos que para cualquier cuerpo arquimediano, la definición se reduce a lo siguiente:

\displaystyle  \forall\varepsilon\in\mathbb Q^+\exists N : n,m \geq N\implies |x_n-x_m|<\varepsilon.

Proposición 11. Sea {K} un cuerpo arquimediano y {(x_n)} una sucesión en {K}. Se cumple lo siguiente:

  1. Si {(x_n)} es convergente, entonces {(x_n)} es una sucesión de Cauchy, y cualquier subsucesión de {(x_n)} converge al mismo límite.
  2. Si {(x_n)} es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.
  3. Si {(x_n)} es acotada, entonces {(x_n)} tiene una subsucesión de Cauchy (pre Bolzano-Weierstraß).
  4. Si {(x_n)} es un sucesión de Cauchy, entonces cualquier subsucesión es una sucesión de Cauchy. Además, si {(x_n)} tiene una subsucesión convergente, entonces {(x_n)} converge al mismo límite.
  5. Si {(x_n)} es una sucesión de Cauchy y {(x_{k_n})} es una subsucesión, entonces {\lim_{n \rightarrow \infty} |x_n - x_{k_n}| = 0}.

Ejercicio 7. Probar la Proposición 11.

Proposición 12. Sea {K} un cuerpo arquimediano. Las siguiente afirmaciones son equivalentes:

  1. {K} tiene la propiedad de la mínima cota superior.
  2. Cualquier sucesión de Cauchy en {K} es convergente ({K} es completo).

Ejercicio 8. Analizar el siguiente esquema de prueba de la Proposición 12:

Demostración. ({1\!\Rightarrow\!2}) Sea {(x_n)} una sucesión de Cauchy en {K}. Si {(x_n)} es eventualmente constante, obviamente es convergente, de manera que asumiendo que no lo es y considerando el conjunto

\displaystyle  X=\lbrace x\in K\;\vert\;\exists N\in\mathbb N : n\geq N\implies x<x_n \rbrace,

tenemos que {X} es no vacío y tiene una cota superior (¿por qué?) y así {\sup X} existe, y postulamos que {x_n \rightarrow\sup X}. Dado un {\varepsilon>0}, hallamos {N} tal que {|x_n-x_m|<\frac\varepsilon2}, y consideramos el intervalo {(x_N-\frac\varepsilon2, x_N+\frac\varepsilon2)}. Hay sólo finitos elementos de la sucesión fuera de este intervalo, de modo que {x_N-\frac\varepsilon2\in X}. Además, {x+\frac\varepsilon2} es una cota superior para {X}. La desigualdad triangular (nota: probar la desigualdad triangular para cuerpos arquimedianos) ahora nos da

\displaystyle  |x_n-\sup X|\leq|x_n-x_N|+|x_N-\sup X|<\varepsilon.

({2\!\Rightarrow\!1}) Sea {A\subset K} no vacío y acotado superiormente por {y_0\in K}. Sea {x_0} algún elemento que no es cota superior para {A}, e.g., tenemos {a-1} para algún {a\in A}, y recursivamente define un pair de sucesiones {(x_n)} e {(y_n)} sobre {\mathbb N_0} mediante

\displaystyle  \begin{array}{rl} y_{n+1} & = \begin{cases} \displaystyle\frac{y_n + x_n}{2} & \text{si } \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} \text{ es una cota superior para } A, \\ y_n & \text{en cualquier otro caso} \end{cases} \\ x_{n+1} & = \begin{cases} \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} & \text{si } \displaystyle\frac{y_n+x_n}{2} \text{ no es una no cota superior para } A, \\ x_n & \text{en cualquier otro caso.} \end{cases} \end{array}

Por inducción tenemos que {(x_n)} es creciente, {(y_n)} es decreciente, y para todo {i,j}: {x_i\leq y_j}. Igualmente, por inducción tenemos que para todo {i}: {0\leq y_i-x_i \leq 2^{-i}(y_0-x_0)}. Ahora es sencillo mostrar que {(y_n)} es una sucesión de Cauchy. Asumiendo que {n\geq m} y tenemos:

\displaystyle  \begin{array}{rl} y_m-y_n & = y_m - y_{m+1} + y_{m+1} - \dotsb - y_{n-1} + y_{n-1} - y_n \\ & \leq (2^{-m-1} + 2^{-m-2} + 2^{-n})(y_0 - x_0) \\ & \leq 2^{-m}(y_0 - x_0) \end{array}

de lo que es fácil concluir que {(y_n)} es Cauchy. Similarmente, se muestra que {(x_n)} es Cauchy. Así, ambas sucesiones son convergentes, y sus límites debe ser el mismo ya que {y_n-x_n\leq 2^{-n}(y_0-x_0)}. Denotemos este límite por {s}. Finalmente, observemos que para todo {a\in A}, {a\leq y_n}, de manera que {a\leq s} (¿por qué?), i.e., {s} es una cota superior para {A}. Además, cuando {u} es una cota superior para {A}, se tiene que {x_n\leq u} para todo {n}; así, {s \leq u} (¿por qué?). Por lo tanto, {s} es la mínima cota superior para {A}. \Box

Proposición 13. Sean {K} y {L} cuerpos arquimedianos. Si {f\colon K\rightarrow L} y {g\colon L\rightarrow K} están incrustados, entonces {K} y {L} son isomórficos.

Demostración. Sea {g\circ f=\phi\colon K\rightarrow K}. Por definición, {\phi} está incrustada. Asumiendo que {\phi} no es la identidad. Entonces existe un {x} para el cual {\phi(x)\neq x}. Hallar un {q\in\mathbb Q} entre {x} y {\phi(x)} y observar que {\phi} tiene que se la identidad en {\mathbb Q}, pero no puede preservar el ordenamiento de {x} y {q}. Esto da una contradicción, y así {\phi} debe ser la identidad. La prueba que {f \circ g} es la identidad es similar. \Box

Lema 14. Sean {G} y {H} be grupos topológicos y sea {G'} un subgrupo denso de {G}. Si {\phi\colon G\rightarrow H} es continúo y {\phi|_{G'}} es un homomorfismo, entonces {\phi} e un homomorfismo.

Demostración. Sea {x,y\in G} y asumamos que {\phi(xy)\neq\phi(x)\phi(y)}. Ya que {G'} es denso, existe una red {(x_\alpha)} y {(y_\alpha)} en {G'} convergiendo hacia {x} e {y} respectivamente. Ya que {\phi} es un homomorfismo sobre {G'}, tenemos que para todo {\alpha} que {\phi(x_\alpha y_\alpha)=\phi(x_\alpha)\phi(y_\alpha)}, y ya que {\phi} es continuo y {\cdot} es continuo, tenemos que {\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)}. \Box

Observación 15. Esto no es un uso vacuo del reductio ad absurdum, ya que una prueba directa podría tener que trabajar con redes arbitrarias convergiendo hacia {x} e {y}. Por supuesto, este lema se puede generalizar para aplicar también a anillos en una manera usual.

Teorema 16 (Teorema de incrustados para cuerpos arquimedianos). Sean {K} y {L} cuerpos arquimedianos donde {L} es completo. Entonces hay un incrustado {\phi\colon K\rightarrow L}.

Demostración. Definamos {\phi\colon K\rightarrow L} mediante {\phi(x)=\sup\lbrace q\in\mathbb Q\;\vert\; q<x\rbrace}. Es sencillo mostrar que {\phi} preserva el orden, de manera que sólo la parte dura está mostrando que es un homomorfismo. Deseamos usar el lema precedente, de modo que primero notemos que es obvio que la restricción de {\phi} a {\mathbb Q} es la identidad, de manera que sólo la parte dura está verificando que es continua. Consideremos un {k\in K} y sea {V} una vecindad de {\phi(k)}. Hallar racionales {p} y {q} tal que {\phi(k)\in(p,q)\subset V}. Postulamos que {\phi((p,q))\subset(p,q)}. Sea {k'\in(p,q)\subset K} y hallamos {q'\in\mathbb Q} tal que {p<k'<q'<q}. Es sencillo ver que {p<\phi(k')\leq q'<q}, así {\phi(k')\in(p,q)}, y concluimos que {\phi} es continua.. \Box

Teorema 17 (Unicidad del cuerpo ordenado completo). Existe un, y sólo un, cuerpo ordenado completo con un isomorfismo que preserva el orden.

Demostración. Sean {K} y {L} cuerpos ordenados completos. El Teorema 16 incrusta {\phi\colon K\rightarrow L} y {\varphi\colon L\rightarrow K}. La Proposición 12 nos muestra que {K} y {L} son isomórficos. \Box

— 2. Existencia —

   Ya hemos comentado mucho acerca de la unicidad, por lo que ahora escribiremos menos. Recordemos que {\mathbb Q} bajo la adición es un grupo topológico, de manera que usaremos la notación establecida antes para su conjunto de sucesiones de Cauchy: {\mathbb Q^\mathbb N_c}.

Proposición 18. Se tiene que {\mathbb Q^\mathbb N_c} es un anillo unitario conmutativo bajo la adición y la multiplicación por coordenadas.

Ejercicio 9. Probar la Proposición 18.

Proposición 19. El conjunto de las sucesiones racionales de Cauchy que convergen a cero, i.e.,

\displaystyle  \mathfrak z = \left\lbrace (z_n) \in \mathbb Q^\mathbb N_c \;\bigg\vert\; z_n \rightarrow 0 \right\rbrace,

es un ideal maximal en {\mathbb Q^\mathbb N_c}.

Ejercicio 10. Probar la Proposición 19. [Sugerencia: considerar un ideal{\mathfrak a\supset\mathfrak z} con un {(q_n)\in\mathfrak a\setminus\mathfrak z}. Mostrar que hay un {N} tal que {n\geq N\implies q_n\neq0} y considerar que la sucesión {(z_n)=(1-q_1,\dotsc,1-q_N,0,0,\dotsc)}. Argumentar que {(q_n+z_n)\in\mathfrak a} y concluir que {\mathfrak a=\mathbb Q^\mathbb N_c}.]

   Así {\mathfrak z} es un ideal maximal y, por lo tanto, el cociente, que vamos a denotar por {R}, debe ser un cuerpo. Desde aquí, el resto es un esquema que tiene varios detalles por verificar y que son bastante aburridas. 🙂

   Adoptaremos el convenio de escribir las sucesiones con negrita, e.g., escribiremos {(x_n) = {\bf x}} y usaremos la notación {[{\bf x}]} para una clase equivalente que contiene a {{\bf x}}.

   Definimos {<} en {R} mediante {[{\bf p}]<[{\bf q}]\iff\exists (p_n)\in [{\bf p}], (q_n)\in[{\bf q}],\alpha\in\mathbb{Q}^+ : p_n < q_n + \alpha \text{ eventualmente}}. En particular, notar que la existencia del positivo {\alpha} no puede ser descartado; e.g., considerar {(1/n)}, {(0)} y {(-1/n)}. Sin el requisito que ese positivo {\alpha} existe, tendríamos {0 < 0}, que es claramente tonto.

Ejercicio 11. Verificar que cuando {(p_n)\in[{\bf p}]} y {(q_n) \in [{\bf q}]} son muestras que {[{\bf p}] < [{\bf q}]}, entonces cualquier par de representantes funcionarán bien, i.e., si {(p'_n)\in[{\bf p}]} y {(q'_n) \in [{\bf q}]}, entonces {(p'_n)} y {(q'_n)} también son muestras.

Ejercicio 12. Mostrar que {<} es un orden total estricto, i.e., se tiene que {<} irreflexivo, transitivo y total. [Sugerencia (para totalidad): necesitas mostrar que sólo uno de {[{\bf x}]<[{\bf y}]}, {[{\bf x}]=[{\bf y}]} o {[{\bf y}]<[{\bf x}]} se cumple, de manera que primero se tiene que mostrar que al menos uno de ellos se cumple, asumiendo que ninguno de ellos se cumple y se obtiene una contradicción; luego, mostrar que a lo más uno de ellos se cumple, igualmente, por contradicción usando que {[{\bf x}]\nless[{\bf y}]\iff[{\bf y}]\leq[{\bf x}]}. Probablemente necesitará pasar muchas veces a subsucesiones «más agradables», de manera que la Proposición 11(e) será muy útil.]

   Y ahora podemos descansar un poco y cosechar la recompensa con estos ejercicios sencillos:

Ejercicio 13. Mostrar que {R} es un cuerpo ordenado.

Ejercicio 14. Mostrar que {R} es arquimediano.

Ejercicio 15. Completar los detalles del siguiente esquema de prueba que cualquier sucesión de Cauchy en {R} es convergente:

Demostración. Empezando con una sucesión arbitraria de Cauchy {([{\bf q}]^i)} de clases equivalentes, la Proposición 11(d) nos permite asumir que para todo {i,j} con {j\geq i} que {\left\lvert[{\bf q}]^i-[{\bf q}]^j]\right\rvert<4^{-i}}. Observar que la convergencia significa que se tiene que mostrar que alguna de las desigualdades se cumple, de manera que sólo se necesita mostrar que se cumple para algunos representantes, así estamos en libertad de elegir los que más nos gusten. 🙂

   Elegir los representantes, {(q^i_n)}, tal que {|q^i_n - q^i_m| < 4^{-n}}.

   Tomar {{\bf x}=(q^1_1,q^2_2,\dotsc)}. Esto es obviamente una sucesión de Cauchy (¿por qué?), y postulamos que {[{\bf q}]^i \rightarrow [{\bf x}]}. Convéncete que esto es lo mismo que

\displaystyle  \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+ \exists K,N : k \geq K, n \geq N \implies \left\lvert q^k_n - q^n_n \right\rvert < \varepsilon.

   Notar que el requisito de existencia del positivo {\alpha} se deja de lado ya que tenemos que se cumple que para cualquier {\varepsilon>0}. De manera que dejamos {\varepsilon>0} tal cual. Usamos el truco de insertar un elemento apropiado en la desigualdad {|q^k_n - q^n_n| \leq |q^k_n - q^k_k| + |q^k_k - q^n_n|} y usamos el hecho que ambas, la sucesión y el representante, tiene la “{4^{-m}}“-propiedad para concluir que si elegimos {N,K} tales que {N=K} y {2^{-N}<\varepsilon}, entones el LD es eventualmente menor que {\varepsilon}. \Box

   Hasta aquí, hemos cumplido, y tenemos las licencias para conducirnos con los números reales. 🙂

   Uno de los teoremas fundamentales del cálculo establece que

\displaystyle  \int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a).

   Intuitivamente, el teorema fundamental del cálculo dice que «el cambio total es la suma de todos los cambios pequeños». De manera que {f'(x)\,dx} es un cambio pequeño en el valor de {f}. Uno puede sumar todos estos cambios pequeños y obtener el cambio total {f(b)-f(a)}.

   Con mayor detalle, partiendo el intervalo {[a,b]} en partes pequeñas:

\displaystyle  a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b.

Observemos que el cambio total en el valor de {f} a través de {[a,b]} es la suma de los cambios en el valor de {f} a través de todos los pequeños subintervalos {[x_i,x_{i+1}]}:

\displaystyle  f(b)-f(a)=\sum_{i=0}^{N-1}f(x_{i+1})-f(x_i).

(El cambio total es la suma de todos los cambios pequeños.) Pero, {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)}. Así,

\displaystyle  \begin{aligned} f(b)-f(a)&\approx \sum_{i=0}^{N-1}f'(x_i)\Delta x_i \\ &\approx\int_a^bf'(x)\, dx, \end{aligned}

donde {\Delta x_i=x_{i+1}-x_i}.

   Podemos convertir este argumento intuitivo en un prueba rigurosa. Ayuda mucho el que podamos usar el teorema del valor medio para reemplazar la aproximación {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)} con la igualdad (exacta) {f(x_{i+1})-f(x_i) = f'(c_i)(x_{i+1}-x_i)} para algún {c_i\in(x_i,x_{i+1})}. Esto nos da

\displaystyle  f(b)-f(a)=\sum_{i=0}^{N-1}f'(c_i)\Delta x_i.

Dado que {\epsilon>0}, es posible particionar {[a,b]} suficientemente fina de lo que es la suma de Riemann {\sum_{i=0}^{N-1}f'(c_i)\Delta x_i} con {\epsilon} de {\int_a^bf'(x)\,dx}. (Esta es la única definicióñ de la integrabilidad de Rieman.) Ya que {\epsilon>0} es arbitrario, lo que implica que {f(b)-f(a)=\int_a^bf'(x)\,dx}.

   El teorema fundamental del cálculo es un ejemplo perfecto donde: 1) la intuición es muy clara; y 2) la intuición puede convertirse directamente en un prueba rigurosa.

Aclaraciones. La aproximación {f(x_{i+1})-f(x_i)\approx f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)} sólo es una reformulación de lo que considero que es la idea más importante del cálculo: cuando {f} es diferenciable en {x}, tenemos que

\displaystyle  f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x.

La aproximación es buena cuando {\Delta x} es pequeño. Esta aproximación es esencialmente la definición de {f'(x)}:

\displaystyle  f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Si {\Delta x} es un número pequeño distinto de cero, tenemos

\displaystyle \begin{aligned} &f'(x)\approx\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ \iff & f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x. \end{aligned}

En efecto, la idea de {f'(x)} es darnos una aproximación local lineal para {f} en {x}, y la idea del cálculo es estudiar la funciones que son localmente lineales en el sentido que hay una buena aproximación lineal. El término «diferenciable» incluso podría reemplazarse con el término más descriptivo «localmente lineal».

   Desde este punto de vista del cálculo, vemos que él y el álgebra lineal están relacionado en el nivel más elemental. Para definir lo que es «localmente lineal» cuando {f\colon\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m}, primero tenemos que definir las transformaciones lineales. Para entender lo que es una aproximación local lineal para {f} en {x}, que es una transformación lineal, necesitamos desarrollar el álgebra lineal.

— 1. Con análisis asintótico y no estándar —

Por definición de derivada, tenemos

\displaystyle  f'(x)=\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}+o(1)

({o(1)} quiere decir que el error es infinitesimal).

   Si {H} es un entero no estándar positivo e infinito, por la regla del punto extremo izquierdo, con {\xi_i=a+i(b-a)/H}, tenemos

\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b f'(x) \, \mathrm{d}x &= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) f'\left(\xi_i \right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) \left(\frac{f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)}{\xi_{i+1} - \xi_i} + o(1)\right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} \left(f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i) + o\left(\frac{b-a}{H}\right) \right) + o(1) \\&= f(\xi_H) - f(\xi_0) + o(1) \\&= f(b) - f(a) \end{aligned}

donde los últimos pasos se debe a que ambos lado son estándar, y así la diferencia infinitesimal debe ser cero.

   El hombre más fuerte del mundo es el que está más solo. Y una minoría puede tener razón; una mayoría siempre está mal… Partiendo del mismo comentario que me hacían la publicación anterior, es posible que esto tenga algún sentido: las elecciones presidenciales avivan las llamas de que somos una democracia :-p. Pero «la mayoría» puede cometer errores; por ejemplo, los últimos tres presidentes del Perú no han podido usar los recursos económicos para lograr cambios significativos —y estos presidentes son producto de la decisión de la mayoría. Me preguntaban, si la mayoría es siempre mala, ¿podemos concluir que la autocracia es superior a la democracia?

— 1. ¿Lo es? —

   Cuando uno dice «la mayoría siempre está mal», ¿qué quiere decir realmente? ¿Queremos decir que la mayoría es incapaz de tomar decisiones perfectas (suponiendo por el momento que es posible que un agente externo puede medir objetivamente la excelencia de dichas decisiones)? ¿Que con el sufragio universal, la mayoría de la gente decidirá sobre la base de una información mala (o imperfecta)? ¿U otro criterio? Y si siempre se toman decisiones malas, ¿cómo se pretende poner a individuos que tomen mejores decisiones en el poder?

   El problema con la autocracia, y los modos de ganar poder en las sociedades que tienden a la autocracia, es que lo constante en ella es la aptitud para ganar y retener el poder. Los únicos casos en los que ganar y retener el poder es beneficioso para una nación —es decir, la gente que vive en ese país— son cuando el bienestar general y la satisfacción de los sujetos juegan un papel significativo en la capacidad del dictador para continuar su gobierno. Así, en una dictadura que es débil, debe acoger a las masas o devenir en un golpe de Estado. Una forma democrática de gobierno es la sucesión de gobiernos que se ven obligados a satisfacer los deseos de la ciudadanía.

   Por supuesto, uno puede observar que la presión principal durante la selección en la carrera política en una democracia es también su capacidad para obtener y conservar el poder. La pregunta es entonces: ¿qué es necesario para que alcancen ese objetivo? Diferentes sistemas democráticos tienen muchas fallas, pero la peor de ellas —la susceptibilidad a grupos de presión o de intereses comerciales, siendo propensos a conflictos de intereses personales— no sólo se aplica a los burócratas en una dictadura, sino que son lo que clasificamos como corrupción, un no poder alcanzar los estándares previstos, en cualquier sistema.

   Por supuesto, una dictadura benigna, honesta y fuerte es concebible; de lo contrario, no habrían pensando en hacer el comentario que inicio esta pregunta. Sin embargo, concebir algo no es la mismo que la probabilidad de que suceda, o la fiabilidad. Históricamente, parece raro poder encontrar las condiciones para una dictadura sea benigna. Además, «benigno» no implica «bien informados», como tampoco lo popular hace que un gobernante, que es bien intencionado o incluso bien informado en algunos asuntos, no esté mal informados en otros temas.

   Para ciertas prioridades éticas y morales, como las tomadas durante la Ilustración en Europa —la libertad de circulación y establecimiento, libertad de expresión, etc.— una forma democrática de gobierno es el mejor esquema general que hemos encontrado para propiciar esas prioridades. Esto no quiere decir que estas formas de gobierno sean perfectas para lograr objetivos importantes (tal vez, como garantizar la integridad del medio ambiente), pero no tenemos experiencia con otra forma de gobierno que sea más fiable para cumplir esos objetivos; y, haciendo un eufemismo, las dictaduras tienen un registro muy irregular para alcanzarlos.

— 2. Comentarios finales —

   Platón investiga cinco formas ideales de gobierno. En orden descendente de virtud son: Aristocracia, Oligarquía, Timocracia, Democracia y Tiranía.

   La Aristocracia es el mejor gobierno (casi) por tautología, ya que en él rigen los mejores. No nos referimos a la aristocracia tradicional —la aristocracia terrateniente, monarcas, nobles etc. La Timocracia es la regida por los militares o propietarios o gente honorable. La Tiranía viene al final. La Democracia sólo está un nivel por lo que comentaba al inicio del primer párrafo.

   Las formaciones políticas reales son más complejas, ya que incorporan matices de todo esto en el cuerpo político; aunque, por supuesto, ciertas características predominan. Aristóteles, por ser un filósofo empírico más que idealista estaba a favor de los gobiernos mixtos.

   La autocracia, en la forma de Tiranía, es la peor forma de gobierno. La autocracia en la forma de una Monarquía (a falta de un término mejor), que está primero entre las aristocracias (en el sentido de Platón), es la mejor forma gobierno.

   Cabe destacar que esta jerarquía se refleja más o menos en el sistema tradicional de castas de la India —en orden descendente— brahmanes (mejores o sabios), khastriyas (militares), vaishyas (mercaderes o ricos) y shudras (población generalmente obrera).

   Conversaba con un amigo una de las películas sobre el universo de Star Wars. Me comentaba que el Emperador sólo quería crear un nuevo sistema político y que la democracia (que ya existía) era el único sistema político existente que se aplicaba en todos los sistemas del universo. Luego, me preguntaba si esto es o bien lo mejor o lo correcto. Procuraré el porqué no creo que sea particularmente mejor ni correcto.

   Hay personas que suelen comentar sobre la «la tiranía de las masas», y Platón coloca la democracia por encima de la tiranía y por debajo de la aristocracia. El totalitarismo se entiende ampliamente como un modo de gobierno en el que no se reconocen las libertades individuales o colectivas en el sentido de una libertad de tener un modo de comportamiento que está explícitamente permitido por el gobierno y de cuya posesión o aplicación no se sucede un castigo por este gobierno. Como ocurre con casi todas las cosas, el totalitarismo no debe verse como algo que es blanco o negro, un sí o un no —desde luego, tiene matices. Podemos preguntarnos hasta qué grado la República Galáctica, la República de Platón, los Estados Unidos de América, la República del Perú o la Quinta República de Francia son totalitarias —o, por el contrario y yendo al punto, el grado en que estos países garantizan las diversas libertades y cómo hacen que esas garantías se apliquen. Las respuestas serán diferentes en cada caso y en diferentes épocas, debido a que la jurisprudencia de cada sociedad cambia con el tiempo.

   Ahora bien, sin tener claro cuáles eran las libertades que la República Galáctica garantizaba, es difícil decir hasta qué punto los sistemas galácticos estaban libres de la tiranía antes de que Palpatine se convirtiera en Canciller. Sin embargo, los episodios I, II y III muestran evidencia a la República como una organización tan incapaz de actuar que sus estados miembros van a la guerra sin la intervención efectiva por el Senado, y que en un momento dado se abandona el derecho de cambiar el Canciller, para que posteriormente se autorice acciones de guerra contra los Estados miembros y la orden Jedi sin evidencia significativa para el casus belli (precisamente en contraste con la crisis del Episodio I). Esto sugiere que la República estaba inicialmente libre de la tiranía, sólo para delegar sus capacidades y caer en un totalitarismo bajo el impulso de un orador carismático, lo que finalmente culminó con la disolución del Senado (durante la primera media hora del Episodio IV).

   Aparte de esto, no se trata de que «un solo sistema de gobierno» tiene que ver con el totalitarismo y si esta es la condición de la República Galáctica. Se suponía que la República debía gobernar toda la galaxia —si ignoramos las lindes de anarquía como Tatooine, pero sólo podemos decir que han participado de forma ambigua en la República cuando vemos las leyes de la República en términos absolutistas —aunque cada Estado miembro tenía su propio gobierno. (Por ejemplo, parecía que Naboo tenía un tipo no especificado de monarquía elegida.) Por lo tanto, está claro que la Galaxia tenía más de un «sistema de gobierno» en la historia de Star Wars; y en cualquier caso, esto no influenciaba a las libertades de los ciudadanos que estaban bajo la República (donde la ausencia de la libertad es la noción que define de totalitarismo).

   Como en todas las cosas, es esencial saber qué se entiende por cada término para poder responder estas preguntas, empezando por definir totalitarismo.

   Del estudio de nuestro comportamiento derivamos la ética. La democracia en nuestra sociedad no es más que un producto de la humanidad que se deriva de la ética. Es una de manera de responder específicamente a las situaciones que se manifiestan por nuestra actividad social. Pero desde la ética hay diversas maneras de implementarla para la vida en sociedad.

   Limitar la posibilidad de desarrollar a nuestra sociedad estrictamente bajo sistema específico es lo opuesto a la posibilidad de diversidad de las sociedades sin ningún tipo de ayuda para la supervivencia de ellas. Depender de un único sistema político pondría a la sociedad en desequilibrio para que afronte los posibles peores escenarios en su vida. Por ejemplo, hablar del poder del pueblo no es del todo pertinente. En circunstancias específicas, una democracia puede ser obviada cuando la aristocracia puede apoyar en un lapso. Durante la guerra mundial, había menos democracia; no obstante, la esencia de la democracia (poder del pueblo) y la aristocracia (mando directo del ejército) se ayudaban entre ellos para ganar la guerra.

   Así, no podemos asumir que la democracia es la fuerza más poderosa para cambiar la propia sociedad mediante la tiranía del pueblo. Necesitamos equilibrar los tipos de poderes de las que puede servirse una sociedad.

   Se quiere demostrar por inducción que, para cualquier número natural {n}, existe un número natural {m} con la propiedad

\displaystyle  m^2\le n\le(m+1)^2.

   El caso base de la inducción es sencillo de establecer con {n=m=0}.

   Para el paso inductivo, supongamos que la afirmación es verdadera para {n}. Ahora tenemos que mostrar que es verdadera para {n+1}. Para ello, sea {m} un número natural que cumple la afirmación para {n}. Si tenemos suerte, con {n+1\le(m+1)^2} habremos finalizado. Caso contrario, con {(m+1)^2<n+1}, podemos notar que {n+1\le(m+2)^2}. De manera que en este caso obtenemos {(m+1)^2\le n+1\le(m+2)^2}, como se deseaba.

   Pensemos en un pequeña tribu donde cualquiera sabe acerca de todos (y sus padres). Se podría elegir a una persona para gobernarlos, quien es una persona que está primero entre personas iguales en un sentido simple para todos los miembros de la tribu.

   Platón trataba de la democracia en una Polis y la deplora como una caída de la aristocracia. En cierto sentido comparto su opinión: por qué sería contraproducente querer ser gobernado por el mejor. (Aunque esto debe tomarse con cuidado para evitar malas interpretaciones.) ¿La escala de la ciudad es parte de su argumento en contra de la democracia?

   El presidente Humala está sin duda en el primer lugar para sus partidarios, pero seguramente no los está entre todos los ciudadanos, a pesar de la existencia de la industria de las relaciones públicas modernas.

¿La democracia puede escalar con el tamaño del país, digamos Perú? ¿Puede escalar alguna vez a un país de tamaño (casi) subcontinental como lo Brasil?

   Si no son democracias, ¿qué son? Los llamamos democracias representativas (de la mayoría, como vimos en una publicación anterior). ¿Son algo más en realidad?

   Una respuesta posible puede ser dada por Rousseau en el Libro III del Contrato Social donde se encarga de la democracia: «Para que un Estado monárquico tenga una oportunidad de ser bien gobernado su población y extensión deben ser proporcionales a las capacidades de su gobernador. Es más fácil de conquistar que gobernar. Con una palanca lo suficientemente larga, el mundo se pudo mover con un solo dedo; para sostenerlo se necesita los hombros de Hércules. Por pequeño que sea un Estado, el príncipe casi nunca es lo suficientemente grande para él. Cuando, por el contrario, sucede que el Estado es demasiado pequeño para su gobernante, en estos casos raros también es mal gobernado, por cuanto el príncipe, en constante búsqueda de sus grandes diseños, olvida los intereses del pueblo, y lo hace por el mal uso de los talentos que tiene, que un gobernante de menor capacidad haría por falta de aquellos lo que no pudo el primero. Un reino debe, por así decirlo, expandir o contraer con cada reinado, de acuerdo a las capacidades del príncipe; pero, las habilidades de un senado de ser más constante en cantidad, el Estado puede entonces tener fronteras permanentes sin el sufrimiento de la administración».

   Hay filósofos políticos que argumentan lo contrario que una democracia de libre mercado es la única sociedad escalable. Tomemos por sentado, por un momento, que la gente se distribuye como Platón describe en La República con una elite de personas que conforman una minoría. Al necesitar tomar una decisión, estas personas con tomarían la mejor decisión. El problema es que no hay manera de que pudieran tomar todas las decisiones, e incluso si lo hubiera, la cantidad de información en la sociedad puede abrumar rápidamente su capacidad para tomarlas. En cambio, en las sociedades democráticas, donde la gente en su mayoría tienen la libertad de asociarse, decidirá las normas sociales para ellos y así sucesivamente, es maximizar la cantidad de información utilizada por la gente y ofrecer incentivos para que la gente ajuste sus decisiones con el tiempo, y por lo tanto llegar a mejores decisiones en el largo plazo. Pero en ambos casos está la cuestión de la reputación como hombre de ética. :-\