Hace poco estuve revisando un pequeño problema en el que se pedía aplicar inducción.

Ejercicio 1. Sea {n} un número natural positivo, {n\ge2}. Entonces

\displaystyle  \sum_{k=1}^n\frac1{k^2}<2-\frac1n.

   Vi lo siguiente en un intento de prueba:

\displaystyle  \sum_{k=1}^k\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2}<2-\frac1{k+1},

sin saber cómo seguir.

   Para obtener la prueba deseada, supongamos que

\displaystyle  \sum_{k=1}^n\frac1{k^2}<2-\frac1n.

Entonces

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2}&=&\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}+\frac1{(n+1)^2}\\&=&2-\frac1n+\frac1{(n+1)^2}.\end{aligned}

Así, el problema queda reducido a mostrar que

\displaystyle -\frac1n+\frac1{(n+1)^2}\ge-\frac1{n+1},

lo cual es sencillo de realizar con algo de álgebra. El punto es que uno tiene que usar el supuesto que funciona para {n}. Además, cuando usamos {k} como índice de la suma, no deberíamos usar {k} en cualquier lugar como se hizo anteriormente.

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