Ahora veremos una relación interesante aplicando la inducción fuerte. Por ejemplo, tenemos que {36=9\times2^2}, {80=5\times2^4}, {17=17\times2^0}, {64=1\times2^6}, etc.

   Así, nos proponemos probar que todo número natural {n} puede ser escrito como producto de un número impar y un número potencia de dos.

   Para probar algo por inducción fuerte, tenemos que probar que <> es verdadera para todo {N}. De manera que nuestra hipótesis de inducción sería: todo número natural {k} que es estrictamente menor que {n} puede puede ser escrito como un producto de un número impar y una potencia de {2}. Y queremos probar que, desde esta hipótesis, podemos concluir que {n} también puede ser escrito como un producto de un número impar y una potencia de {2}.

   Para ello, tenemos dos casos: o bien {n} es impar, o bien {n} es par. Si podemos probar que el resultado se mantiene para ambos casos, habremos concluido satisfactoriamente.

Caso 1. Supongamos que {n} es impar. Entonces podemos escribir {n=n\times2^0}, con lo que concluimos. Así, en el Caso 1, el resultado se mantiene para {n}.

Caso 2. Ahora supongamos que {n} es par, por lo que {n=2k} para algún número natural {k}. Pero entonces {k<n}; de manera que, podemos aplicar nuestra hipótesis de inducción a {k}. Concluimos que… (Acá el lector ya habrá podido finalizar estar parte.) 🙂

   Por lo tanto, tenemos que el resultado se cumple para todos los números naturales por la inducción fuerte.

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