Suele suceder que uno puede saber como probar por contradicción una afirmación, pero a la vez no estar seguro de cómo abordarlo. Es usual que escribamos una prueba en la forma «{P\text{ implica }Q}», luego si podemos probar que «{P\text{ y no }Q}» es falso, tenemos que «{P\text{ implica }Q}» debe ser verdadero.

Ejercicio 1. Sea {c} un entero positivo que no es primo. Mostrar que hay algún entero positivo {b} tal que {b\mid c} y {b\leq\sqrt{c}}.

   En este caso, escribimos: si {c} es un entero positivo compuesto, entonces {b|c} y {b\leq\sqrt{c}} para algún entero positivo {b}.

   Uno podría suponer que mientras que se asuma que {b|c} o {b>\sqrt{c}}, esto todavía esa válido como «{\text{no }Q}»; es decir, ¿no tenemos que asumir el recíproco de ambas partes de {Q}?

   Además, cuando {b>\sqrt{c}} y {b|c}, tenemos {br=c} para algún entero {r}, para el cual {r<\sqrt{c}}.

   Cuando negamos una afirmación con cuantificadores, necesitamos dar la vuelta a los cuantificadores. Por ejemplo, lo opuesto de «todo gato es blanco» no es «todo gato no es blanco», sino «hay algún gato que no es blanco».

   En este caso, la negación correcta de «hay algún {b} tal que {b|c} y {b\le\sqrt{c}}», si deseamos mantener la condición que {b} es un divisor, es «para todo {b} tal que {b|c}, {b>\sqrt{c}}». Esta es la afirmación desde la cual podemos probar una contradicción: para todo {b} que satisface esta condición, {\frac{c}{b}} también debe satisfacer esta condición; lo que da la contradicción {c>c}. (Y se quiere la condición que {b>1} o de lo contrario el problema es trivial.)

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