Es sencillo ver que, para mostrar que es numerable, es suficiente mostrar la numerabilidad de o incluso de .
Hay una manera sencilla de enumerar este último: primero las fracciones con denominados , luego aquellos con denominador (obviando los que ya fueron listados), luego aquellos con denominador (nuevamente, evitando repeticiones), etc. Esta lista empieza con
La primera prueba de Cantor de la no numerabilidad de los reales (el argumento de los intervalos anidados) de 1874 procede como sigue:
Dado cualquier sucesión (inyectiva) de números reales, deseamos mostrar un número real que no es listado. Tenemos dos casos: hay con , y tal que no hay con , en cual caso obviamente se ha culminado; o (más interesante), siempre que , podemos hallar un estrictamente entre ellos (el rango de la sucesión es dense sobre sí mismo). Asumamos que estamos en esta situación.
Definimos dos sucesiones y como sigue:
- Primero, y .
- Por definición, suponer que . El otro caso es tratado similarmente. Sea , donde es el menor tal que . Entonces definimos como , donde es el menor tal que .
- En general, dado , definimos como , donde es el menor tal que , y luego definimos como , donde es el menor tal que . Notar que estas sucesiones están bien definidas debido a nuestra hipótesis de densidad.
La construcción que se acaba de describir asegura que si , entonces:
- Para cualquier , tenemos que , y
- Los intervalos están anidados y son decrecientes:
Se sigue (de la completitud de los reales) que , y (de a.) que cualquier número real en esta intersección no está en el rango de la sucesión
Resulta que si llevamos a cabo la construcción de Cantor cuando la sucesión de es la enumeración de los números racionales en con los que comenzamos, entonces , donde es la proporción áurea.
Hay una agradable enumeración de con un significado de combinatoria.
Los racionales son usados para etiquetar los nodos de un árbol binario completo infinito, y la enumeración resultante simplemente sigue los nodos del árbol lexicográficamente.
Empezamos poniendo en la raíz del árbol. Una vez que un nodo ha sido etiquetado con , su sucesor izquierdo es etiquetado , y su sucesor derecho es .
¡Y eso es todo! La lista así producida empieza
La prueba de que esta es en efecto una lista biyectiva de es muy simple; se verifica en el siguiente orden de afirmaciones:
- El numerado y el denominador de cualquiera de las fracciones asignadas son primos relativos.
- Todo racional positivo es asignado a algún nodo.
Para esto, procedemos por inducción. Por ejemplo, si hay una fracción no en su forma reducida, y usado como una etiqueta, escoger esa fracción que aparece en el menor nivel posible, y notar que la fracción no puede ser . Una contradicción es ahora alcanza señalando que .
Similarmente, si aparece en más de un nodo, entonces , y su predecesor inmediato (bien o , dependiendo de si o ) debe también aparecer en más de una vez.
Finalmente, si alguna fracción no está listada, podemos elegir su denominador menos entre los denominadores de todos las fracciones omitidas, y entonces elegimos su numerador menos entre los numeradores de todas las fracciones omitidas con denominador . Una contradicción sigue debido a que , y si , entonces también debe haber sido omitido, pero , mientras que si , entonces deben haber sido omitida, pero
También se muestran las siguientes las siguientes propiedades combinatorias interesantes:
- Hay una sucesión de enteros positivos tal que la -ésima fracción en la enumeración es sólo (en su forma reducida). En particular, el denominador de una fracción es el numerador de su sucesor en la enumeración. De manera que , , , , , , , etc.
- De hecho, es precisamente el número de maneras de escribir como una suma de potencias de , donde cada potencia puede ser usada a lo sumo dos veces. Por ejemplo, , debido a que podemos escribir como , como , o como .
Algunas preguntas naturales:
- ¿Qué podemos decir acerca del real (o los reales) que salen cuando el procedimiento de la prueba de Cantor es aplicado para esta enumeración?
- ¿Cualquier camino infinito a través del árbol binario define una sucesión de racionales? ¿Qué números reales aparecen como puntos límites de estas sucesiones?
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