Es usual definir los límites superior e inferior de una sucesión {(a_n)_{n=1}^\infty} de números reales de la siguiente manera:

\displaystyle  \limsup a_n := \lim_{N\rightarrow\infty}\sup\{a_n:n>N\}

y

\displaystyle  \liminf a_n := \lim_{N\rightarrow\infty}\inf\{a_n:n>N\}.

Del lado derecho de ambas definiciones, ¿podemos pensar {\sup\{a_n:n>N\}} y {\inf\{s_n:n>N\}} como una sucesión con {n>N}? ¿Cómo se comportan cuando {n} incrementa? ¿Decrecen confirme {n} crece?

   Consideremos este ejemplo:

\displaystyle  3-\frac12,\quad 5+\frac13,\quad 3-\frac14,\quad 5+\frac15,\quad 3-\frac16,\quad 5+\frac17,\quad 3-\frac18,\quad 5+\frac19,\quad\ldots

   Esta sucesión alterna aproximándose algo a {3} desde abajo y aproximándose algo a {5} desde arriba. Así, su límite inferior es {3} y su límite superior es {5}.

   El ínfimo de toda la sucesión es {3-\frac12}.

   Si uno retira el primer término, o los dos primeros, el ínfimo de los que queda es {3-\frac14}.

   De los restante, si uno retira el primer término, o los dos primeros, el ínfimo de los que queda es {3-\frac16}.

   De los restante, si uno retira el primer término, o los dos primeros, el ínfimo de los que queda es {3-\frac18}.

   De los restante, si uno retira el primer término, o los dos primeros, el ínfimo de los que queda es {3-\frac1{10}}.

… y así sucesivamente. Vemos que estos ínfimos son cada vez más grandes.

   Observando la sucesión de ínfimos, vemos que sus supremo es {3}.

   Así el límite inferior es el supremo de la sucesión de ínfimos de todos las sucesiones restantes de la sucesión inicial, es decir, las colas de la sucesión inicial. Con la notación, tenemos

\displaystyle  \begin{aligned} \liminf_{n\rightarrow\infty} a_n & = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf_{m=n,n+1,n+2,\ldots} a_m \\ & = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} \\ & = \sup\left\{ \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} : n=1,2,3,\ldots \right\} \\ & = \sup\left\{ \inf\{ a_m : m\ge n\} : n=1,2,3,\ldots \right\}. \end{aligned}

   Así como el límite inferior es el supremo de los ínfimos, tenemos que el límite superior es el ínfimo de los supremos.

   Uno también puede decir que {L=\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n} precisamente si para cualquier de los {\varepsilon>0}, sin importar cuan pequeños, hay algún índice {N} arbitrariamente grande de manera que para cada {n\ge N}, {a_n>L-\varepsilon}, y {L} es el mayor número para el cual esto se cumple.

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