Consideremos un conjunto no numerable de números positivos. ¿Es posible que su suma sea finita? En otras palabras, se quiere verificar que la serie infinita definida mediante este conjunto es convergente. De hecho, trabajar con series sobre conjuntos no numerables es algo complicado de entender. Veremos algunas aproximaciones: una intuitiva y otra rigurosa.

   Podríamos considerar el conjunto {S} de números y definir

\displaystyle  \sum S = \left\{\sum A : A\subseteq S, A \text{ finito}\right\}.

Sin embargo esta definición falla cuando se permite que un mismo número ocurra más de una vez en la suma, ya que podría ocurrir una infinidad no numerable de veces.

   Corrigiendo lo anterior, supongamos que {\{s_i : i\in I\}} es un conjunto de números positivos. Definimos

\displaystyle  \sum_{i\in I} s_i = \sup\left\{ \sum_{i\in I_0} s_i : I_0\subseteq I, I_0 \text{ finito}\right\}.

(Si tanto números positivos como negativos están involucrados, hablamos acerca de un límite en lugar de un supremo; lo que hace la definición más complicada ya que tenemos que tratar con la convergencia condicional y reordenamientos.)

   Ahora, consideremos

\displaystyle \begin{aligned}  & \{i\in I : s_i \ge 1\} \\  & \{i\in I : 1/2 \le s_i < 1 \} \\  & \{i\in I : 1/3 \le s_i < 1/2 \} \\  & \{i\in I : 1/4 \le s_i < 1/3 \} \\  & \quad \quad \quad \vdots  \end{aligned}

Si uno de estos conjuntos es infinito, obtenemos {\sum_{i\in I} s_i=\infty}. Pero si todos son finitos, tenemos que {I} es a lo sumo infinito numerable.

   Así, la suma de infinitos números positivos no numerable es infinito.

   Ahora bien, podemos mostrar esto desde un punto de vista riguroso. Partamos de la definición

Definición 1 (Series sobre conjuntos numerables). Sea {X} un conjunto numerable, y sea {f\colon X\rightarrow\mathbf R} una función. Decimos que la serie {\sum_{x\in X}f(x)} es absolutamente convergente si, y sólo si, para alguna biyección {g\colon\mathbf N\rightarrow X}, la suma {\sum_{n=0}^\infty f(g(n))} es absolutamente convergente. Entonces definimos la suma {\sum_{x\in X}f(x)} mediante la fórmula

\displaystyle \sum_{x\in X}f(x)=\sum_{n=0}^\infty f(g(n)).

   Con esta definición podemos mostrar una caracterización de las series absolutamente convergentes.

Lema 2. Sea {X} un conjunto a lo más numerable, y sea {f\colon X\rightarrow\mathbf R} una función. Entonces la serie {\sum_{x\in X} f(x)} es absolutamente si, y sólo si,

\displaystyle \sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X, A\text{ finito}\right\}<\infty.

   Inspirados por esta proposición, podemos definir el concepto de serie absolutamente convergente incluso cuando el conjunto {X} podría ser no numerable.

Definición 3. Sea {X} un conjunto (que podría ser no numerable), y sea {f\colon X\rightarrow\mathbf R} una función. Decimos que la serie {\sum_{x\in X} f(x)} es absolutamente convergente si, y sólo si,

\displaystyle \sup\left\{\sum_{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X, A\text{ finito}\right\}<\infty.

   Notar que todavía nos hemos dicho a qué es igual la serie {\sum_{x\in X} f(x)}. Cumpliremos con esto mediante la siguiente proposición:

Lema 4. Sea {X} un conjunto (que podría ser no numerable), y sea {f\colon X\rightarrow\mathbf R} una función tal que la serie {\sum_{x\in X} f(x)} es absolutamente convergente. Entonces el conjunto {\{x\in X:f(x)\ne0\}} es a lo sumo numerable.

   Debido a esto, podemos definir el valor de {\sum_{x\in X} f(x)} para cualquier serie absolutamente convergente sobre un conjunto no numerable {X} mediante la fórmula

\displaystyle \sum_{x\in X} f(x):=\sum_{x\in X:f(x)\ne0} f(x),

ya que hemos reemplazado una suma sobre un conjunto no numerable {X} por una suma sobre el conjunto numerable {\{x\in X:f(x)\ne0\}}. (Notar que si la primera suma es absolutamente convergente, la última también lo es.) También, notar que esta definición es consistente con las definiciones para series sobre conjuntos numerables.

Anuncios