Leía un problema propuesto sobre límites de sucesiones. Me pareció interesante como de manera intuitiva se puede formar una expresión exacta de “un índice tiende a infinito cuando el otro índice tiende a infinito, y viceversa”. Es evidente que lo primero que uno se podría preguntar es ¿qué es lo que se desea probar, que toda subsucesión de una sucesión convergente, es también convergente y converge al mismo límite? ¿Cómo damos sentido a que un índice tienda a infinito mientras otro lo hace? ¿No deberíamos tener como premisa que hay al menos una relación (tal vez funcional) entre ellos?

   Veamos… El problema en cuestión es

Ejercicio 1. Sea {(a_n)^\infty_{n=p}} una sucesión de números reales, y sea {L} un número real. Supongamos que {(a_n)^\infty_{n=p}} es convergente y su límite es {L}, es decir, tenemos que {\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L}. Además, tenemos que {n\rightarrow\infty} siempre que {m\rightarrow\infty} y el recíproco también es cierto. ¿Cómo probar rigurosamente que {\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{m\rightarrow\infty}a_n=L}.

   El punto aquí es que no tenemos una definición clara de qué debe entenderse por “{n\rightarrow\infty} siempre que {m\rightarrow\infty}” ni de {\lim_{m\rightarrow\infty}a_n}. Aunque es más o menos compresible lo que se quiere decir: hay alguna relación entre {m} y {n} de modo que crece mientras la otra también lo hace.

   El primer intento presentado fue el siguiente: sea {m(n)} una función monótona desde {\mathbf N} hasta {\mathbf N}. Entonces {(a_m)^\infty_{m=q}:=(a_{m(n)})^\infty_{n=p}} es una subsucesión de {(a_n)^\infty_{n=p}}. Como sabemos que toda subsucesión converge al mismo límite que la sucesión convergente original, podemos afirmar que {\lim_{n\rightarrow\infty}a_{m(n)}=L}.

   Pero se asume mucho… La existencia de una función monótona ya es una sugerencia a que dicha función ha de ser creciente, de otro modo no podría definir una subsucesión y el problema es trivial. Afirma que “{m\rightarrow\infty} cuando {n\rightarrow\infty}” implica la existencia de dicha función, y en esto estamos de acuerdo: ha de existir una función que relacione ambos índices. Lo que si me parece una suposición fuerte es que esta sea monótona; es más, esto lleva a decir que dicha función define una subsucesión convergente.

   Ahora bien, {m(n)} no tiene porqué ser monótona. Basta ver la sucesión {1,1,1,10,2,2,50,3,60,1,100,0,200,\dotsc} para notar que esta tiende a infinito pero no es estrictamente monótona. Ya que estamos de acuerdo en que existe una relación funcional, partiré sólo de esa premisa.

   Sea {m\colon\mathbf N\rightarrow\mathbf N} una función con {f(n)\in\mathbf N}. (Esto es irrelevante, pero lo pongo para que se note el uso del índice {n}.) Con esto, la afirmación “{m\rightarrow\infty} cuando {n\rightarrow\infty}” puede expresarse con {\lim_{n\rightarrow\infty}m(n)=\infty}. Por definición, tenemos que para cualquier {M>0}, existe un {N\ge q} tal que {m(n)\ge M} para todo {n\ge N}.

   Por definición de convergencia, tenemos que {(a_n)^\infty_{n=p}} converge a {L} siempre que para cualquier {\epsilon>0}, existe un {N\ge p} tal que {d(a_j,L)\le\epsilon} para todo {j\ge N}.

   Así ¿podemos fijar un {N':=m(j)} para algún {j\in\mathbf N} y {j\ge q} de manera que {N'\ge N} sirva para satisfacer la definición de convergencia con {(a_m)^\infty_{m=q}}?

   La respuesta es obvia. Con esto vemos que suponer que dicha función permite definir una subsucesión es una afirmación fuerte y usarla es asumir demasiado de las premisas. Finalmente dejo el enunciado de la proposición que supongo fue la que llevo a considerar la existencia de una subsucesión.

Proposición 1. Sea {(a_n)^\infty_{n=0}} una sucesión de números reales, y sea {L} un número real. Entonces los siguientes dos enunciados son lógicamente equivalentes (cada una implica la otra):

  1. La sucesión {(a_n)^\infty_{n=0}} converge a {L}.
  2. Toda subsucesión de {(a_n)^\infty_{n=0}} converge a {L}.

(Notar que una de las dos implicaciones tiene una prueba muy breve.) 🙂

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