En las matemáticas se trabaja con objetos (matemáticos) y relaciones entre ellos. Así, tenemos los objetos: números naturales, enteros, racionales, reales, vectores, matrices, conjuntos, funciones, entre otros muchos objetos más. Estos objetos suelen aparecer en contextos que inicialmente se consideran aislados, luego se hallan equivalencias entre ellos, es decir, podemos realizar operaciones análogas y obtener resultados que representan lo mismo en ambos universos de objetos. Este artículo va de la relación entre los números complejos y como cierta representación matricial conserva las propiedades de dicho sistema numérico. Para ello, veremos dos casos particulares a modo de introducción: cómo dos objetos sin aparente relación generar una definición a partir de una equivalencia.

— 1. Exponenciación de matrices —

   Sabemos que podemos multiplicar matrices y números, que es una forma de representar el producto vectorial. También, se puede elevar una matriz a un exponente numérico, que no es otra cosa que el producto cruz, o producto matricial, ejecutado tantas veces por sí misma como el número lo indique. Pero, a ese nivel, no se tiene definida una operación con base numérica y exponente matricial.

   Tenemos el exponencial de {x} representado por {e^x}. La cuestión que tratamos aquí es si es posible definir algo como

\displaystyle e^{\tiny\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},

es decir, {x} elevado a la potencia {\tiny\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}. No obstante, notemos que esto es puramente simbólico, no tiene por qué tener un significado de antemano. (La matemática no va de sólo jugar con los símbolos.)

   Una manera de representar la función exponencial {e^x} es usando series. Así, se tiene que esta función cumple la igualdad

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dotsb

   Pues bien, cuando {x} es una matriz, sería posible definir el exponencial de una matriz, ya que tenemos definida las operaciones involucradas en la serie: {x^n} es el producto matricial de la matriz {x} aplicada {n} veces por sí misma, cuyo resultado es una matriz, luego multiplicamos esta matriz por {1/n!}, que no es otra cosa que el producto escalar. Finalmente, tenemos una suma de matrices. (De hecho, esta exponenciación de matrices se usa en el campo de las telecomunicaciones en áreas como la corrección de errores.)

— 2. Los números negativos —

   Suponiendo que tenemos definido el conjunto de los números naturales {\mathbb N}, los números negativos aparecen como respuesta a las ecuaciones como {n+1=0}, pues no existe ningún número natural {n} que cumpla dicha igualdad. Así, es necesario definir un conjunto “más grande” que tenga objetos para responder dicha cuestión: el conjunto de los enteros {\mathbb Z}. (Del mismo modo, el conjunto de los racionales {\mathbb Q} aparece como respuesta a {2b=1} con {b\in\mathbb Z}; los complejos {\mathbb C} para {x^2=-1} con {x\in\mathbb R}. En resumen, como veremos pronto, aparecen ante la necesidad de un contrario para una determinada operación que no tiene solución en el conjunto original.)

   Asumamos que no sabemos nada de los números negativos, sólo acerca de los números naturales y la operación de adición. Ahora, definamos un conjunto {E} que contiene a los naturales y que además contenga “objetos” que permitan resolver las ecuaciones que mencionamos antes. Con esto en mente, podemos razonar de la siguiente manera: la ecuación {5+n=3} es la misma que {(3+2)+n=3}, de manera que de la igualdad {(n+2)+3=3} obtenemos {n+2=0} por la cancelación en la suma de números naturales. Por lo expuesto, podemos destacar dos cosas: las leyes del álgebra se mantienen y el problema sobre resolver la ecuación inicial se reduce a resolver {n+2=0}.

   No es difícil ver que cualquier ecuación similar se reduce a hallar los “contrarios” de cualquier número de {E}. Representemos dicho número por {\hat{n}}. Así, tenemos {\hat{n}+n=0}. De modo que, volviendo a la ecuación inicial {5+n=3}, podemos resolverla sumando {\hat{5}} a ambos miembros:

\displaystyle  \begin{array}{rcl} 5+n&=&3 \\ (5+\hat{5})+n&=&3+\hat{5} \\ 0+n&=&3+\hat{5} \\ n&=&3+\hat{5}. \end{array}

Ahora bien, no será complicado para el lector demostrar que las leyes del álgebra se cumplen también para los contrarios, relaciones como {\hat{(n+m)}=\hat{n}+\hat{m}}. Con ello en mente, conseguimos

\displaystyle  \begin{array}{rcl} n&=&3+\hat{5} \\ n&=&3+(\hat{3}+\hat{2}) \\ n&=&(3+\hat{3})+\hat{2} \\ n&=&0+\hat{2} \\ n&=&\hat{2}. \end{array}

   En resumen, podemos comprobar que {\mathbb Z=E} y que {-n=\hat{n}}. Así, hemos “construido” el conjunto de los números enteros de una manera intuitiva y los números negativos. Esto lo hemos logrado a partir de los números naturales y relacionándolos con otros objetos que han de cumplir las reglas que establecimos al principio del argumento, a saber, que en {\mathbb Z} podemos resolver la ecuación {x+n=0}, donde {x} y {n} son enteros y {x} es la incógnita de la ecuación cuyo valor es {x=-n}.

— 3. Número como matriz —

   Como mencionábamos, para obtener a los complejos, necesitamos un número cuyo cuadrado sea {-1} (que no posee respuesta en los números reales). Es usual representar a este número por {i}. De manera que, se cumple {i^2=i\dot i=-1}.

   Ahora, si definimos {i} mediante

\displaystyle  i = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

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