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   En las matemáticas se trabaja con objetos (matemáticos) y relaciones entre ellos. Así, tenemos los objetos: números naturales, enteros, racionales, reales, vectores, matrices, conjuntos, funciones, entre otros muchos objetos más. Estos objetos suelen aparecer en contextos que inicialmente se consideran aislados, luego se hallan equivalencias entre ellos, es decir, podemos realizar operaciones análogas y obtener resultados que representan lo mismo en ambos universos de objetos. Este artículo va de la relación entre los números complejos y como cierta representación matricial conserva las propiedades de dicho sistema numérico. Para ello, veremos dos casos particulares a modo de introducción: cómo dos objetos sin aparente relación generar una definición a partir de una equivalencia.

— 1. Exponenciación de matrices —

   Sabemos que podemos multiplicar matrices y números, que es una forma de representar el producto vectorial. También, se puede elevar una matriz a un exponente numérico, que no es otra cosa que el producto cruz, o producto matricial, ejecutado tantas veces por sí misma como el número lo indique. Pero, a ese nivel, no se tiene definida una operación con base numérica y exponente matricial.

   Tenemos el exponencial de {x} representado por {e^x}. La cuestión que tratamos aquí es si es posible definir algo como

\displaystyle e^{\tiny\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},

es decir, {x} elevado a la potencia {\tiny\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}. No obstante, notemos que esto es puramente simbólico, no tiene por qué tener un significado de antemano. (La matemática no va de sólo jugar con los símbolos.)

   Una manera de representar la función exponencial {e^x} es usando series. Así, se tiene que esta función cumple la igualdad

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dotsb

   Pues bien, cuando {x} es una matriz, sería posible definir el exponencial de una matriz, ya que tenemos definida las operaciones involucradas en la serie: {x^n} es el producto matricial de la matriz {x} aplicada {n} veces por sí misma, cuyo resultado es una matriz, luego multiplicamos esta matriz por {1/n!}, que no es otra cosa que el producto escalar. Finalmente, tenemos una suma de matrices. (De hecho, esta exponenciación de matrices se usa en el campo de las telecomunicaciones en áreas como la corrección de errores.)

— 2. Los números negativos —

   Suponiendo que tenemos definido el conjunto de los números naturales {\mathbb N}, los números negativos aparecen como respuesta a las ecuaciones como {n+1=0}, pues no existe ningún número natural {n} que cumpla dicha igualdad. Así, es necesario definir un conjunto “más grande” que tenga objetos para responder dicha cuestión: el conjunto de los enteros {\mathbb Z}. (Del mismo modo, el conjunto de los racionales {\mathbb Q} aparece como respuesta a {2b=1} con {b\in\mathbb Z}; los complejos {\mathbb C} para {x^2=-1} con {x\in\mathbb R}. En resumen, como veremos pronto, aparecen ante la necesidad de un contrario para una determinada operación que no tiene solución en el conjunto original.)

   Asumamos que no sabemos nada de los números negativos, sólo acerca de los números naturales y la operación de adición. Ahora, definamos un conjunto {E} que contiene a los naturales y que además contenga “objetos” que permitan resolver las ecuaciones que mencionamos antes. Con esto en mente, podemos razonar de la siguiente manera: la ecuación {5+n=3} es la misma que {(3+2)+n=3}, de manera que de la igualdad {(n+2)+3=3} obtenemos {n+2=0} por la cancelación en la suma de números naturales. Por lo expuesto, podemos destacar dos cosas: las leyes del álgebra se mantienen y el problema sobre resolver la ecuación inicial se reduce a resolver {n+2=0}.

   No es difícil ver que cualquier ecuación similar se reduce a hallar los “contrarios” de cualquier número de {E}. Representemos dicho número por {\hat{n}}. Así, tenemos {\hat{n}+n=0}. De modo que, volviendo a la ecuación inicial {5+n=3}, podemos resolverla sumando {\hat{5}} a ambos miembros:

\displaystyle  \begin{array}{rcl} 5+n&=&3 \\ (5+\hat{5})+n&=&3+\hat{5} \\ 0+n&=&3+\hat{5} \\ n&=&3+\hat{5}. \end{array}

Ahora bien, no será complicado para el lector demostrar que las leyes del álgebra se cumplen también para los contrarios, relaciones como {\hat{(n+m)}=\hat{n}+\hat{m}}. Con ello en mente, conseguimos

\displaystyle  \begin{array}{rcl} n&=&3+\hat{5} \\ n&=&3+(\hat{3}+\hat{2}) \\ n&=&(3+\hat{3})+\hat{2} \\ n&=&0+\hat{2} \\ n&=&\hat{2}. \end{array}

   En resumen, podemos comprobar que {\mathbb Z=E} y que {-n=\hat{n}}. Así, hemos “construido” el conjunto de los números enteros de una manera intuitiva y los números negativos. Esto lo hemos logrado a partir de los números naturales y relacionándolos con otros objetos que han de cumplir las reglas que establecimos al principio del argumento, a saber, que en {\mathbb Z} podemos resolver la ecuación {x+n=0}, donde {x} y {n} son enteros y {x} es la incógnita de la ecuación cuyo valor es {x=-n}.

— 3. Número como matriz —

   Como mencionábamos, para obtener a los complejos, necesitamos un número cuyo cuadrado sea {-1} (que no posee respuesta en los números reales). Es usual representar a este número por {i}. De manera que, se cumple {i^2=i\dot i=-1}.

   Ahora, si definimos {i} mediante

\displaystyle  i = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

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   Apenas había emprendido la marcha a casa. Una suave brisa y el ligero aguacero acompasaban mis pasos sobre la vereda. Apenas la había dejado y cruzaba una avenida larga, iluminada por faroles que creaban un espejismo donde uno podía viajar con la nostalgia, y cruzando el umbral del tiempo y la memoria, historia y ficción, de una ciudad hechicera: eco de un mundo que ya no existe, acuarelas en las gotas de fábulas que hacen temblar el decorado de esta historia… Porque recorría con miedo un futuro tan amplio y luminoso como aquella avenida, imaginando sólo por instante que no había más fantasmas allí que los de la ausencia y la pérdida, y que aquella luz que me sonreía era de prestado y sólo valía mientras pudiera sostener con la mirada, segundo a segundo.

   Eras más sabia que nadie que hubiera conocido. A veces alegre, otras triste y con displicente palabras para el amor. Y me alegro, porque es posible que ese momento no llegue nunca…

Le había dejado esperándome. Nunca supe que el océano del tiempo nos devuelve los recuerdos que enterramos en él. Veo la imagen de la persona que fui, vagando entre las brumas y su nombre encendido como una herida fresca: el recuerdo de dos personas, sus vidas, sus sentimientos, sus ilusiones, su ausencia, los sueños que nunca llegaron a realizar, las decepciones, los engaños y los amores no correspondidos que envenenaron sus vidas… Todo estaba aquí, atrapado para siempre. Quise volver a ser ese amigo… el que se perdió por el camino. Y seguí caminando sin saber que la vida es la hipoteca del alma, sin saber que el camino al infierno está hecho de buenas intenciones: aun si uno sale bueno, ir avanzando demanda cometer traiciones, con los demás o con uno. Hay quien tiene la fortuna de no caer demasiado en ello y quien directamente es un hijo de puta… Y nos queda una gran deuda: todos tenemos un secreto escondido bajo llave en el ático del alma.

¿Por qué cuando alguien manifiesta alguna afirmación sobre la conciencia, las personas reaccionan afirmando o debatiendo con toda seguridad? Este tema no va sobre la conciencia, pero he visto que “casi” todos tienen la licencia suficiente para hablar con rotunda seguridad: la afirmación que la conciencia habita de manera inescrutable en nosotros. Nos sentimos dueños de lo que se puede decir sobre ella porque la usamos, nos dicta cosas, es parte esencial de nuestro aparato cognoscitivo, el mismo que guía nuestro día a día. Entonces, ¿por qué creer que no sabemos nada contundente de ella? Algo similar sucede con el pesimismo, sentimos que es algo negativo porque, no importa cuan mal veamos las cosas, somos capaces de guiar nuestros pensamientos hacia algo mejor, que sucederá a toda la negatividad que habita en nuestra realidad. En ambos casos, investigadores muestran los resultados de sus análisis y hallan un campo minado por esas licencias que nos tomamos. He aquí un enfoque con el que pretendo abordar el tema.

   Como comentábamos en una publicación anterior, podemos hallar (o inventar) una premisa a cada afirmación planteada con el objetivo de mantener una deducción racional hacia el hecho que consideramos cierto. Cuando un creyente se detiene en tal proceso, dice que es un dogma de de fe, que Dios es la primera causa, el origen de todo (especialmente lo bueno) de nuestra realidad. El Dios de los filósofos tiene un origen similar: es la substancia que da soporte a la realidad; por ejemplo, las leyes de la naturaleza, el espíritu absoluto de Hegel o el Dios de Spinoza; pero liberado de toda la parafernalia de las religiones (la que no obstante, mantiene el análogo de quien analiza la cuestión; pero esto es otro tema que veremos después).

   Entonces, no dudamos que hay algo detrás del telón que precede a nuestra realidad. Esta distinción básica de la naturaleza de la realidad es la que escinde nuestros juicios sobre ella en fenómeno y noúmeno. En primer lugar, el fenómeno es lo que opera en nosotros, en nuestro aparato cognoscitivo, de dos maneras: la intuición y el entendimiento. La intuición es los que percibimos en una dimensión espacio–temporal mientras el entendimiento categoriza los conceptos según sus cualidades, cantidad y relación entre ellos. La suma de ambos, intuición más entendimiento, produce el conocimiento del mundo fenoménico, es decir, lo susceptible a la intuición empírica, el mundo de nuestras experiencias. Por otro lado, lo que no es así susceptible es lo que se llama noúmeno: aquello que aparece cuando el mundo se agota en su perceptibilidad en los objetos de nuestra experiencia, mente y razón; es decir, el consumo del aparato cognoscitivo.

   Todo cuanto queda nos aparece como una cosa en sí misma de aspecto ilusorio, lo que bien puede ser origen de toda las multiplicidades fenoménicas, el origen del que hablábamos antes. Sin embargo, ¿dónde está el noúmeno? Pues bien, si sabemos que hemos de tener un principio para esas multiplicidades —un algo detrás de todo, esta fuerza elemental, la energía básica, de lo que todo se deriva—, entonces aparece la noción de lo que aquí llamaremos la pulsión de toda percepción (realidad, vida, etc.): pulsión que es manifestación de la misma fuerza o energía cósmica. Metafóricamente, la pulsión, la fuerza o energía, que da vida —a nosotros, un animal, una flor— y, en el tiempo, nos lleva hacia la muerte en tanto es independiente de todo, nada la antecede y todo deriva.

   Esto es la metafísica de lo fundamental, del mar que soporta la cresta de la ola que somos cada uno de nosotros y, para la cual, somos insignificantes, pues nunca descansa. Y es aquí donde empezamos con el pesimismo. En ese incesante devenir no hay plenitud. Ninguna dialéctica (humana, demasiado humana, et tertia non datur) puede llevarla a la calma. Algo que podemos percibir en Nietzsche y Freud: el inconsciente del hombre, las pulsiones que ponen en tela de juicio la autonomía de la razón, una ventana a la que no podemos asomarnos con la seguridad de saber aquello que pudiéramos ver.

   Se manifiesta en nuestra búsqueda perpetua de la felicidad, inalcanzable por la naturaleza misma del deseo (que tenemos por algo). Ese deseo que es la expresión de una falta, una carencia, una necesidad (o peor, el capricho que volvemos necesidad), y por hallarnos en un estado de deseo, sufrimos; lo que resulta en que son expresiones dolorosas. Mas, cuando por fin se alcanza lo deseado, se suprime el dolor y experimentamos la felicidad. Pero no es sino un rito de paso por la felicidad que es sensación temporal de la supresión del deseo , la misma que nos da un placer de posesión que se verá disminuida para luego desaparecer surgiendo nuevos deseos.

   Como resultado obtenemos una experiencia que vivimos en un sentido negativo y no positivamente. Por ejemplo, la oscuridad, en tanto ausencia de luz, es a la felicidad, en tanto ausencia de sufrimiento o dolor: las estrellas consumen su combustible, una vela agota su flama, una vida se apaga. En vez de ser algo en sí mismos, la luz como la felicidad obedecen a una experiencia de consumo, a cada paso disminuyen. Y así, en este mundo metafísico, la naturaleza de la realidad, de las pulsiones, se manifiesta en conflicto: no hay nada de optimista en el fin de la violencia, la codicia, las guerras, porque no pueden transformase racionalmente, he ahí la esencia por que conocemos a un mundo que no es en su fundamento racional, sino una crueldad —sin sentido.

   De este modo, la razón no es la fuente de la ética ni la moral, sino algo instrumental, pues la razón es sólo la abstracta obligación que genera la representación del sufrimiento (a curar). Lo que se necesita además de razonar, es sentir… sentir esas pulsiones, experimentar, sufrir con ellos; lo que no es otra cosa que la definición de compasión como base de la ética. Y ya que, en este sentido ontológico, somos solidarios, podemos por ello actuar (sentir): al ver un gato perdido en medio de un tránsito feroz, éste no comprende lo que sucede, y por ello lo vemos patético. Pero nosotros sabemos de qué se trata: sigue siendo una desgracia, pero al menos tiene sentido porque sabemos. Y podemos actuar. A partir de ello hacia la desgracia de nuestra situación, entendemos el por qué (aunque cueste llegar al “¿qué hacer?”).

   La raíz de la maldad, su fuente, es ser esclavo de las pulsiones, como un adicto a su droga. Mientras sigamos siendo guiados las pulsiones de nuestro ego, deseando y tratando de poseer cuanto pueda, acabaremos sufriendo. El desprendimiento de esto consiste en la fertilidad: crear, pasar por una virtud o un arte. Pues mientras el intelecto y el ego están al servicio de las pulsiones —tiñendo nuestra percepción de objetivos y esfuerzos por las pulsiones, tenemos por otro lado que el producto de nuestras virtudes son contemplativas y no apetitivas. Calmando el descontrol del ingreso de las pulsiones: no dejaremos el sufrimiento, pero agotaremos su capacidad de concentración.

   Ahora, es seguro que cuando vea a alguien tildado de pesimista, recordaré que no todos razonan sobre nuestro lugar en la realidad y lo que realmente es la fuente del pesimismo. Al menos, espero no se trate con contundencia peyorativa o ignorante.

P.S.

—Nada es justo. A lo más a lo que podemos aspirar es a que sea lógico. La justicia es una rara enfermedad en un mundo por lo demás sano como un roble, un mundo donde lo único bueno que nos deja el pasado es la historia, una que no tiene tiempo para ser justa, y como frío calculador no toma en cuenta más que los resultados.

—Hay dos tipos de compasión: una que es sólo una defensa instintiva del alma —una respuesta al dolor ajeno, que no se compromete; mientras que la otra, aquella que es realmente con–pasión, que es consciente de la realidad, que está dispuesta a llegar a las últimas consecuencias, aun a costa del propio bien, es la verdadera.

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