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   Desde hace un par de meses me tentaron escribir algo referente a la filosofía. Hice algunos borradores: para qué sirve la filosofía, visión moderna del cogito, la racionalidad del escepticismo, la consistencia de un axioma y descubrimientos o invenciones de la mente. Pero, terminé decantándome por el eterno retorno. Con un criterio particular, presento dos aspectos que dependerán del devenir del conocimiento de científico que se acumule en materia de cuantificación.

   La idea del eterno retorno ha sido mencionada por Friedrich Nietzsche (1844 – 1900) y Pitágoras (c. 570 – c. 495 aC). Lo siguiente es una formulación a partir la Voluntad de Poder de Nietzsche:

“Si es lícito que el mundo sea pensado como una determinada cantidad de fuerza y como un determinado número de centros de fuerza —y toda representación sigue siendo indeterminada y, en consecuencia, inutilizable— de ello se deriva que ha de recorrer un número calculable de combinaciones, en el gran juego de dados de su existencia. En un tiempo infinito toda posible combinación se habría alcanzado una vez, en algún momento; más aún, se habría alcanzado infinitas veces. Y puesto que entre cada combinación y su próximo ‘retorno’ han de haber pasado todas las combinaciones incluso posibles en absoluto, y cada una de estas combinaciones determina la sucesión entera de combinaciones en la misma serie, con ello estaría demostrado un ciclo de series absolutamente idénticas: el mundo como ciclo que ya se ha repetido infinitamente muchas veces y que juega su juego in infinitum. Esta concepción no es sin más una concepción mecanicista: pues si lo fuese, no determinaría un retorno infinito de casos idénticos, sino un estado final. Porque el mundo no lo ha alcanzado, el mecanicismo nos ha de valer como hipótesis incompleta y solamente provisional.”

   En el artículo de Wikipedia sobre el eterno retorno sólo se cita un único (y breve) argumento contra el eterno retorno de Georg Simmel (1858-1918): al parecer, se argumenta que el tiempo se cruza en un “bucle local”, de modo que no todo está sujeto a ser repetido infinitas veces. Lucha en contra parece no haber acumulado argumentos durante la larga historia del concepto (también en la filosofía oriental; v.g., los Vedas.).

   La existencia de atractores extraños socavan los supuestos físicos detrás eterno retorno. La matemática no trabaja bien en entorno cuyas ideas se remontan a siglos anteriores, en los cuales, no se entendían lo complejo que es la predicción. Por ejemplo, a medida que nos acercamos a un punto de la frontera del conjunto de Mandelbrot, es posible demostrar que se pueden producir imágenes continuas de formas que no estaba presentes en las imágenes anteriores.

   El hecho de que podría ser el mismo evento en muchas ocasiones, no significa que este se repite, ya que puede estar en movimiento a través del mismo estado en una dirección evolutiva diferente. Incluso si hay un tiempo infinito, también hay un número infinito de derivadas de cualquier función, por lo que es sutilmente infinita en su variación y constante en su capacidad para salir de la repetición. Un ejemplo que los pitagóricos conocían es que la expansión de los dígitos de {\pi} no se repiten, por lo que un objeto circular rodando infinitamente alrededor de un cuadrado cuyo lado es un múltiplo par de su radio nunca caerá en patrón de repetición perfecto. La posición en el borde donde comienza por el siguiente lado siempre será un poco diferente de lo que era en cada ocasión anterior.

   Si algo así de simple y claro nunca se repite, ¿por qué algo tan complejo como un universo?

   La respuesta clásica es que la diferencia siempre se está reduciendo y en algún momento esa diferencia es lo suficientemente pequeña como para no importar. Pero a partir de las matemáticas como la teoría de la bifurcación, vemos que pequeñas diferencias pueden tener enormes efectos en períodos largos, si de alguna manera afectan, con el tiempo, a un punto en que el sistema es muy delicado. Otro ejemplo es lo que publiqué en un artículo anterior sobre el caos.

   Hay un fuerte sesgo humano al presumir de un comportamiento convergente. Pero, con las computadoras podemos observar de que los sistemas de repetición de cualquier complejidad (seguramente alta) casi siempre tienen puntos donde algunas de las derivadas crecen muy rápido, por lo que una muy pequeña diferencia puede hacer una gran diferencia. Esta fue, en parte, la sentencia de muerte de las computadoras analógicas de alta potencia, y la razón por la que todo es digital ahora.

   Desde otra perspectiva, el nivel de determinación supuesta simplemente no es consistente con nuestras observaciones del mundo; por ejemplo, al observar la indeterminación cuántica. Así, si uno tiene cualquier fe en la ciencia moderna, la cuestión del eterno retorno simplemente no es realista o probable.

   Se sigue descubriendo más de nuestra realidad; en particular, que es discreto y no continuo. Si al final se descubre que absolutamente todo, incluyendo el espacio y el tiempo son cuantificables, la noción misma de un círculo o de un derivada es una ilusión que sólo existe para nuestra conveniencia computacional, y este argumento, que asume que algún aspecto del espacio es continuo, se cae a pedazos. La trascendencia de {\pi} se desvanece si sólo puede existir como una abstracción.

   No obstante, existen un potencial futuro que podría debilitar el argumento. Si la gente de la espuma cuántica están en lo cierto y el espacio es cuantificado, entonces el universo debe terminar o estar en un bucle. Mientras, creo que es práctico no asumir ninguna de ellas.

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   Estaba pensando escribir acerca del impacto e importancia de la teoría de conjuntos, con la idea de completar lo que expuse en una publicación anterior. Precisamente de por qué hubo la necesidad de desarrollarla para las matemáticas. Así, estuve buscando distintas fuentes y me di con que muchos explican bien los aspectos teóricos, a veces complementados con lo que estimuló su desarrollo. Llegué a la conclusión que un artículo con esas características sería tedioso de hacer y, seguramente, de leer, por lo que decidí mostrar una opinión personal que ayuda a dar una idea de los temas que originalmente planteé.

   Solemos pensar que las matemáticas han sido desarrolladas a partir de la necesidad de contar de nuestros ancestros. Esa necesidad de contar cuántos años tenemos, cuántas ovejas; una luna, dos ojos, seis esposas… muchos etcéteras. Pero si miramos de cerca, al contar la cantidad de cosas de un cierto tipo que tenemos, lo primero que requerimos es poder reunirlas en una sola colección: la colección de las ovejas o la colección de planetas, y así sucesivamente.

   Los conjuntos vinieron a resolver un problema similar. Son colecciones de objetos matemáticos que son a la vez objetos matemáticos.

   Desde luego, esto no quiere decir que deberíamos aprende la teoría de conjuntos con ese único objetivo. Las aplicaciones inmediatas de la teoría de conjuntos no son dedicadas a las colecciones finitas, o, más bien, colecciones suficientemente pequeñas como las que vimos al inicio. No necesitamos pensar en parejas o grupos de 17 elementos como objetos particulares. Independientemente de lo que queremos hacer con ellas, podemos realizar eso mismo a mano, o casi a mano.

   Los conjuntos entran en juego cuando se quiere hablar de conjuntos infinitos. Estos conjuntos infinitos recogen un número infinito de objetos de un colección; por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el conjunto de conjuntos finitos de conjuntos de números naturales, el conjunto de los números irracionales, etcétera. Una vez establecido qué objetos matemáticos se puede englobar en otros objetos matemáticos, podemos comenzar a analizar su estructura.

   Pero justamente aquí viene el problema. Los conjuntos infinitos desafían nuestra intuición, la que proviene de los conjuntos finitos. Las paradojas de la infinitud, como la paradoja de Galileo, la del hotel de Hilbert, entre otros, son las paradojas que vienen a representar la naturaleza del infinito como una contradicción a nuestra intuición física.

   El estudio de la teoría de conjunto, incluso intuitivamente, es la columna vertebral técnica de cómo se manejan los conjunto infinitos. La matemática moderna tiene que ver mucho con conjuntos infinitos, unos infinitos más grandes que otros, más grandes o más pequeños, y es una buena idea aprender acerca de los conjuntos infinitos si se quiere entender mejor a los objetos matemáticos.

   Uno puede estudiar intuitivamente una gran parte de la teoría de conjuntos, sobre todo si realmente se enseña la teoría axiomática de conjuntos con una presentación intuitiva. Este tipo de aprendizaje puede, y tal vez debería, incluir discusiones sobre el axioma de la elección, sobre los ordinales y algo de cardinales. Por ejemplo, los ordinales y cardinales son dos maneras de contar que se extienden más allá de nuestro entendimiento intuitivo de que el conteo se realizar mediante el uso de los números naturales, y que además nos permiten contar objetos infinitos, lo que no es posible con los números naturales.

   Si combinados estas ideas con los fundamentos de la lógica de primer orden, el cálculo de predicados y la lógica elemental de primer orden, se puede ver que la teoría de conjuntos puede ser utilizada como base para las matemáticas modernas; lo que a su vez, nos permite ver mejor algunas partes de las matemáticas.

   La teoría axiomática de conjuntos, por otra parte, es una rama matemática como cualquier otra. Posee ciertos tipos de problemas típicos, los que una vez establecidos son trabajados por los teóricos en sus formas típicas y atípicas para lograr resolverlos o, al menos, entenderlos mejor. Sin embargo, la teoría axiomática de conjuntos puede manejar mejor los problemas más delicados que vienen desde el infinito.

¿Qué quiero decir con esto? Muchos de los conjuntos infinitos en las matemáticas modernas son numerables o tienen un “tamaño” continuo. Rara vez nos encontramos con conjuntos más grandes; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos Lebesgue medibles es muy grande, pero aún así no es usual preocuparse por esos conjuntos. Pero, ahora que entendemos mejor los conjuntos infinitos, nos podemos preguntar cosas como: Dado un grupo abeliano con determinadas propiedades, ¿es necesariamente libre (en términos abelianos)? Por lo general, podemos probar este tipo de teoremas para objetos numerables, en este caso, los grupos numerables, pero no más allá de eso.

   Cuando estamos interesados en la topología, que nos permite ampliar nuestra capacidad de manipulación de los objetos numerables a los entes que se pueden aproximas “en el buen sentido” con objetos numerables (como espacios separables). Pero incluso entonces, podemos formularnos preguntas que implican objetos arbitrarios y que, no necesariamente, tengan estas buenas propiedades.

   Resulta que nuestra falta de intuición para los conjuntos infinitos se refleja en la falta de una “estructura intuitivamente demostrable” de los conjuntos infinitos. No podemos siquiera hacer una demostración para determinar cuántas cardinalidades distintas se encuentran entre la cardinalidad de {\mathbb N} y la de {\mathbb R}. Podría no haber ninguno o podría ser uno o dos o muchos más. Aquí es cuando la teoría axiomática de conjuntos entra en el ruedo.

   La teoría axiomática de conjuntos se ocupa de los axiomas adicionales que podríamos requerir en universo teórico para ajustarlo a lo que deseamos tener en él, y cómo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y ésta es también una importancia más de la teoría de conjuntos en la investigación matemática. Se trata de la resolución de la existencia de supuestos o qué tipos de ellos necesitamos para demostrar o refutar la existencia de ciertos objetos.

   Estos objetos, que resultan aparentemente arbitrarias, puede tener una gran influencia y fuertes efectos sobre la estructura de los “conjuntos matemáticamente interesantes”. Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel es medible Lebesgue. Pero la imagen continua de un conjunto de Borel no es necesariamente de Borel. ¿Será medible Lebesgue? Resulta que sí, pero si cerramos los conjuntos de Borel bajo sus complements y funciones continua, ¿los conjuntos resultantes serán medibles Lebesgue? ¿Podrán satisfacer alguna de las versiones de la hipótesis del continuo? ¿Tendrán la propiedad de Baire? Y hay muchas más preguntas, todos ellos muy naturales, que se origina en todo tipo de objetos teóricos extraños y axiomas que afirman su existencia.

   Y si uno se pregunta: ¿a cuenta de qué debemos aprender la teoría de conjuntos y cuál es su importancia? Es por esto, que nos permite entender mejor los objetos infinitos y los supuestos necesarios para controlar mejor su comportamiento.

Epílogo. Veamos una breves descripciones.

La teoría de conjuntos intuitiva. La teoría de conjuntos es el lenguaje común para hablar de las matemáticas, por lo que el aprendizaje de la teoría de conjuntos significa aprender este idioma común. Otro aspecto, como mencioné, es el de conteo. La cardinalidad de los conjuntos es una noción muy fundamental que puede ser entendido bastante bien intuitivamente. La cardinalidad significa contar, así que aprender la teoría de conjuntos significa aprender a contar —más allá de los números finitos. Una aplicación clásica es la prueba de la existencia de los números trascendentes. Por último, la teoría de conjuntos se ata de forma segura con la lógica, por lo que el aprendizaje de la teoría de conjuntos significa aprender la lógica, de que la que podemos hacer uso todo el tiempo.

Teoría axiomática de conjuntos. La teoría de conjuntos es tan fundamental que la única manera de estudiarla rigurosamente es axiomáticamente. Por otra parte, desde el inicio del estudio intuitivo de los conjuntos uno se encuentra con preguntas muy simples que no pueden ser respondidas. Por ejemplo, ¿cada subconjunto de los números reales tiene la cardinalidad de los números reales o la de los números naturales. Otro punto es el axioma de la elección, que por un lado es equivalente a muchas declaraciones obviamente verdaderas tanto como los es a declaraciones evidentemente falsas. Esta situación requiere un estudio axiomático muy cuidadoso y, por supuesto, hay varias maneras de axiomatizar la teoría de conjunto, lo que da lugar a diferentes teorías de conjuntos —haciendo el tema aun más divertido.

Coda. En términos generales la teoría se ocupa del universo matemático. Concretamente, la teoría de conjuntos tiene la capacidad para describir los resultados de independencia, que es un aspecto importante de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, consideremos {\mathbb R}. ¿Existe un conjunto {X} tal que {|\mathbb N|<|X|<|\mathbb R|}? La teoría de conjuntos nos muestra que la solución a esta pregunta está más allá de nuestra intuición (ZFC). Es posible construir modelos del universo de las teoría de conjuntos donde esta afirmación es cierta, así como construcciones de universos donde es falsa. Por lo tanto, nunca podremos saber la solución a esta pregunta. Lo que hecha luz sobre nuestra capacidad de percibir el infinito.

   También existen ciertos objetos combinatorios que también son independientes de nuestra intuición. Sin embargo, también hay que señalar que la teoría de conjuntos no existe en una burbuja. Los resultados en la teoría de conjuntos sangran a otras áreas de las matemáticas. Consideremos, por casos, la solución de Shelah al problema de Whitehead. Resultados de independencia aparecen a lo largo de matemáticas y es el trabajo de la teoría de conjuntos de explicar por qué y cómo estos resultados de indepedencia ocurren.

   La filosofía de la teoría de conjuntos es un campo vivo y que se necesitaría un estudio mayor para comprender los argumentos de Woodin, Hamkins y otros que han discutido estos temas con mayor detalle.

   A veces, uno se pregunta por qué la inducción es una técnica de demostración válida. Desde luego, es una cuestión natural por más intuitiva que parezca esa validez. Incluso, podemos comparar el misterio de la inducción con otras técnicas usuales de demostración, como el principio del buen ordenamiento o la inducción fuerte. La cuestión es más precisa al enfocarla desde la perspectiva del por qué podemos aplicar la inducción en los números naturales, pero no profundizaré dicha explicación aquí; una de las razones es que la respuesta depende de cómo se define los números naturales. El lector puede inferir de esto que estoy diciendo que la inducción es independiente de los números naturales. ¿Es esto posible? ¿Acaso es la inducción algo más que probar que una afirmación se cumple para {0} y que también se cumple para {n+1} cuando {n} la cumple? ¿Cómo puede tener sentido esto fuera del ámbito de los números naturales?

   Bueno, lo de estar fuera del “ámbito” es un tanto exagerado; pero es posible adaptar la idea de inducción a ámbitos más generales que sólo los números naturales. Este es el punto de vista que veremos a continuación con mayor detalle: dado algún conjunto {X}, ¿qué necesitamos para habilitar la inducción en {X} y que sea una herramienta para demostrar que una afirmación se cumple para todos elementos de {X}?

— 1. Lo usual —

   Veamos como formulamos usualmente la inducción.

Teorema 1. Sea {A\subseteq\mathbf N} tal que {0\in A} y {n\in A\implies n+1\in A} para cualquier {n\in \mathbf N}. Entonces {A=\mathbf N}.

   Aparentemente esta formulación parece requerir algunas propiedades de los números naturales: el hecho que hay un elemento {0} y que podemos “añadir” una unidad {1} a cualquier elemento. Pero veamos una versión diferente de la inducción (frecuentemente llamada inducción fuerte). Es común decir que esta versión es equivalente a la inducción usual; aunque, veremos que este hecho es un tanto trivial en tanto ambos se aplican sobre los números naturales, o falso cuando empecemos a generalizarlos sobre los mismos conjuntos.

Teorema 2. Sea {A\subseteq\mathbf N} tal que {(m<n\implies m\in A)\implies n\in A} para cualquier {n\in\mathbf N}. Entonces {A=\mathbf N}.

   Notar que parece no haber caso base, pero esto es satisfecho trivialmente; se cumple para el {0} ya que si {n=0} entonces {m<n} es falso y, por lo tanto, la primera implicación es cierta, sin importar si {m\in A}, lo que quiere decir que la segunda implicación es únicamente cierta si {n\in A}. De esta manera, tenemos un versión de la inducción que usa únicamente el ordenamiento de los números naturales, lo que luce como algo más sencillo de generalizar. Así, tomemos un conjunto {X} cualquiera. ¿Qué clase de ordenamiento deberíamos aplicar en {X} para poder demostrar que una afirmación es cierta para todo {x\in X} mediante la inducción? La respuesta usual es el un buen ordenamiento; pero esto no es del todo preciso, principalmente porque un buen ordenamiento es un ordenamiento total, lo que a nos permite afirmar que es posible usar la inducción con sólo un orden parcial. Pero iniciaremos con una cuestión más específica: ¿qué clase de orden total en {X} nos permite aplicar la inducción?

— 2. Órdenes totales —

Analicemos un poco la siguiente definición:

Definición 3. Un orden total sobre un conjunto no vacío {X} es un buen orden si cualquier subconjunto no vacío de {X} tiene un elemento mínimo.

   Así, dado que {X} es un conjunto totalmente ordenado, podemos aplicar la inducción sobre {X} si, y sólo si, {X} está bien ordenado. Pero esto se refiere a la inducción fuerte. ¿Es posible aplicar la inducción si contamos sólo con un orden total? Casi. S contamos con un conjunto bien ordenado (con una pequeña condición adicional), podemos aplicar la inducción usual. Pero de hecho, es necesario afinar algunos detalles. Antes veamos por qué para aplicar la inducción usual es suficiente y necesario tener un buen ordenamiento. Primero veamos que es suficiente.

Teorema 4. Sea {X} un conjunto bien ordenado y {A\subseteq X} tal que {(y<x\implies y\in A)\implies x\in A} cualquiera que sea {x\in X}. Entonces {A=X}.

Demostración. Sea {B:=X\setminus A} y supongamos en pos de la contradicción que {B} es no vacío. Ya que {X} está bien ordenado, se tiene que {X} tiene un elemento mínimo, digamos {b:=\min B}. Pero, si {x\in X} con {x<b}, entonces {x\notin B} ya que {b} es el mínimo elemento en {B}. Por lo tanto, por hipótesis, para todo {x\in X} con {x<b} tenemos {x\in A}, lo que quiere decir que {b\in A}, una contradicción a la elección de {b}. \Box

   Veamos que es necesario.

Teorema 5. Sea {X} un conjunto no vacío totalmente ordenado tal que {A=X} siempre que {A\subseteq X} satisface {(y<x\implies y\in A)\implies x\in A} para cualquier {x\in A}. Entonces {X} está bien ordenado.

Teorema 6. Sea {B\subseteq X} un subconjunto de {B} que no tiene elemento mínimo. Sea {A:=X\setminus B}. Necesitamos mostrar que {A=X} y así, por hipótesis, basta con probar que si {x\in X} e {y\in A} para cualquier {y<x}, entonces {x\in A}. Pero si {y\in A} para todo {y<x}, entonces {x} no puede encontrarse en {B}, ya que sería el mínimo elemento de {B} (porque todos elementos estrictamente menores no están en {B}), así tenemos {x\in A}, como se deseaba.

   Ahora, la cuestión que queda es cómo podemos darle sentido a la inducción usual; para lo cual, necesitamos contar con un elemento {0} y ser capaces de añadir {1} a cualquier elemento. Hay una manera natural de dar ese sentido a un conjunto bien ordenado {X} si asumimos una condición extra: {X} no tiene elemento máximo. De esta manera, podemos tomar por {0} al elemento mínimo del conjunto (que existe por hipótesis), y, para añadir {1}, es decir, tomar el siguiente elemento, basta considerar que para cualquier {x\in X} sabemos que el conjunto {\{y\in X:y>x\}} es no vacío (para esto necesitamos que {X} no tenga elemento máximo); así, su mínimo elemento es el siguiente elemento de {x} (llamado sucesor de {x}). Contando con estas definiciones, ¿podemos aplicar la inducción sobre {X}? ¡No! El siguiente ejemplo ilustra aquello que necesitamos cambiar para lograr hacer funcionar la inducción:

Ejemplo 1. Sea {X:=\{0,1\}\times\mathbf N} y el orden lexicográfico sobre {X} (i.e., {(m,n)\le(m',n')} si {m<m'} o {m=m'} y {n\le n'}). Entonces es sencillo verificar que {(0,0)} es el elemento mínimo de {X} (denotamos {0:=(0,0)}); también, es fácil verificar que “{+1}” se puede definir mediante {(m,n)+1=(m,n+1)}. Ahora, sea {A:=\{(0,n):n\in\mathbf N\}\subseteq X}. Entonces podemos mostrar que {0\in A} y {a\in A\implies a+1\in A} pero {A\ne X}. Pero {X} está de hecho bien ordenado (¿por qué?), de manera que es un conjunto bien ordenado sin un elemento máximo donde no podemos aplicar el primer tipo de inducción.

¿Qué va mal en el ejemplo anterior? Al parecer la inducción sólo funciona para los números naturales, pero es muy similar a la inducción fuerte que aplicamos a cualquier conjunto bien ordenado, excepto en un punto: necesitamos que si {n\ne0}, entonces {n-1} tenga sentido (consideremos que complemento de un conjunto, tomando el elemento mínimo del elemento {n} es fácil ve que este no puede ser {0} y así podríamos usar la hipótesis inductiva en {n-1}). Pero, ¿cómo no sería posible definir “restar {1}” en cualquier conjunto bien ordenado? Esto es imposible, por eso es precisamente el quid de la cuestión del ejemplo: el elemento {(1,0)} no tiene un predecesor inmediato ya que los elementos menores que {(1,0)} son aquellos que están en el conjunto {A}, y un predecesor inmediato no puede ser un elemento máximo en {A}, que ciertamente no existe. Esto sugiere cómo podríamos remediar la situación: reemplazar “{0\in A}” por “{x\in A} para cualquier {x\in X} que no tiene un predecesor inmediato”. Así, con esta versión, podemos aplicar la inducción. (¿Por qué? Basta con adaptar las demostraciones anteriores.)

— 3. Órdenes parciales —

Veamos el caso más general: sea {X} un conjunto parcialmente ordenado. ¿Qué necesitamos para aplicar la inducción fuerte en {X}? (En este caso, no podemos hablar de un inducción simple, ya que no tiene sentido en este nivel de generalidad.) La respuesta es que {X} debe ser bien fundado. (De hecho, no es necesario tener algún ordenamiento, basta tener una relación bien fundada.) De esta manera, definimos

Definición 7. Una conjunto no vació parcialmente ordenado {X} está bien fundado si cualquier subconjunto no vacío de {X} tiene un elemento minimal.

   Como hicimos con los órdenes totales, ahora necesitamos probar que esta condición es suficiente y necesaria para aplicar la inducción. Primero, veamos que es suficiente.

Teorema 8. Sea {X} un conjunto bien fundado y {A\subseteq X} tal que {(y<x\implies y\in A)\implies x\in A} cualquiera que sea {x\in X}. Entonces {A=X}.

Demostración. Sea {B:=X\setminus A}. Supongamos en pos de la contradicción que {B} es no vacío y sea {b\in B} un elemento minimal. Es claro que si {x\in X} con {x<b}, entonces {x\in A} ya que de otro modo {b} no sería minimal. Pero entonces {b\in A}, lo que contradice la elección de {b}. \Box

   Ahora, veamos que es necesario.

Teorema 9. Sea {X} un conjunto no vacío parcialmente ordenado tal que {A=X} siempre que {A\subseteq X} satisface {(y<x\implies y\in A)\implies x\in A} para cualquier {x\in A}. Entonces {X} está bien fundado.

Demostración. Sea {B\subseteq X} y asumamos que {B} no tiene elemento minimal. Sea {A:=X\setminus B}. Tenemos que si {x\in X} e {y\in A} para todo {y<x}, entonces también {x\in A}, caso contrario, {x} sería un elemento minimal de {B}. Pero, por hipótesis, {A=X}, de modo que {B} es vacío. \Box

   Ahora sabemos cuándo podemos aplicar la inducción. ¿Pero siempre es útil? ¡Seguro! Para un ejemplo de un conjunto bien fundado sin orden total, podemos tomar {\mathbf Z} con el orden {m\ne n} si {m=n} o {|m|<|n|} (el ordenamiento “más cercano a cero”). A veces, uno puede querer contar con un orden total. (Añadiré un ejemplo elaborado pronto.) También es útil para probar que cierto conjuntos son bien fundados; por ejemplo

Proposición 10. Sea {X} un conjunto no vacío parcialmente ordenado tal que {\{y\in X:y\le x\}} es finito para todo {x\in X}. Entonces {X} es bien fundado.

Demostración. Sea {A\subseteq X} un subconjunto no vacío de {X} y sea {x\in A}. Tenemos que el conjunto {\{x\in X:x\le a\}\cap A} es finito y no vacío; así, tiene un elemento minimal, que, a su vez, es elemento minimal en {A}. \Box