Tanto en películas, artículos periodísticos como en los comentarios variopintos sobre lo complejo que es entender algo, suele ser mentado el Efecto mariposa. Seguro muchos tendrán una idea: “El aleteo de las alas de una mariposa puede provocar un Tsunami al otro lado del mundo.” Pero ¿a qué se refiere realmente? Nadie que no se tenga por ingenuo lo tomaría literalmente. En esta oportunidad revisaremos de qué va esto del efecto mariposa y por qué es mal interpretado ¿La mariposa produce el caos en el mundo? Pues no. Veremos que en realidad es el caos el origen de la mariposa.

— 1. El efecto mariposa —

   A finales del siglo XIX, había un esfuerzo de parte de los matemáticos por comprender la naturaleza del caos, el desorden dentro de un sistema. Un fenómeno a menudo asociado al caos es el Efecto mariposa. Una perturbación mínima podría tener consecuencias de gran impacto a largo plazo. A esto, un matemático diría que existe dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales.

   El caos también se caracteriza por la existencia de condiciones iniciales que conducen a cualquier configuración posible del sistema: Una nave espacial que parta desde un lugar “privilegiado” acabará visitando cada rincón del espacio. Un matemático diría que dicha trayectoria es de órbita densa.

— 2. La matemática del caos —

   Matemáticamente, el caos es un concepto que se aplica a los Sistemas dinámicos. Para entender este tipo de sistemas, pensemos en procesos que van cambian un sistema con el tiempo bajo ciertas reglas. Dado un conjunto {X} que contiene todos los posibles estados de un sistema, una aplicación {\varphi\colon X\rightarrow X} del conjunto {X} sobre sí mismo y un estado inicial {x_o\in X}, definimos la órbita de {x_0} bajo la acción de {\varphi} a la sucesión {x_0,x_1:=\varphi(x_0),x_2:=\varphi(x_1),\dotsc} En principio, esto es lo que debemos entender sistema dinámico (discreto). (Siendo rigurosos, un sistema dinámico es (la iteración de) la aplicación {\varphi} y, para cada posible estado inicial, se tiene una órbita distinta del sistema dinámico)

   Ahora bien, ¿qué debe entenderse por caos? Brevemente, un sistema dinámico se considera caótico cuando las órbitas que genera son impredecibles y complicadas. Por ejemplo, partimos de dos puntos muy cercanos, después de cierto tiempo, las órbitas podrían estar alejadas (esto es el efecto mariposa). También hay otras maneras en la que las órbitas son complicadas, es posible que una única órbita esté cerca de cualquier punto del espacio; e.g., la curva de Peano.

   Existen varias maneras de definir el caos en sistema dinámico, siendo la más extendida la propuesta por R. Devaney, en 1986, que impone condiciones muy fuertes, a primera vista. Un sistema dinámico {\varphi:X\rightarrow X}, donde {X} es un espacio métrico, es caótico si en dicho sistema se verifican las propiedades:

  1. dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales;
  2. existe una órbita densa; y
  3. existe un conjunto denso de puntos con órbita periódica.

Donde, las dos últimas condiciones implican que, cerca de cada punto, siempre podemos encontrar una órbita densa y una órbita periódica. Veremos esto con mayor detalle luego.

   La primera propiedad es precisamente el efecto mariposa y quiere decir que existe una distancia fija {\delta_0} (constante de sensibilidad) de modo que si elegimos un punto de partida, siempre podremos hallar otro punto de partida, tan cercano como queramos al anterior de manera que ambas órbitas tarde o temprano estarán a una distancia mayor que {\delta_0}. Esta constante es fija para cada sistema dinámico caótico, y pueden ser muy grande (con lo que las órbitas se separarían mucho) o muy pequeña (con lo que las órbitas se separarían poco). Da igual cuan cerca busquemos el segundo punto, siempre podremos encontrarlo.

   La segunda condición significa que existe una órbita que prácticamente llena todo el espacio, mientras que la tercera dice siempre se podremos hallar puntos cuyas órbitas sean periódicas,i.e., órbitas que cada cierto tiempo, periodo, vuelven a su estado inicial.

   Devaney decía que un sistema dinámico caótico

  1. debe ser impredecible, esto es el efecto mariposa;
  2. debe ser indescomponible, es decir, que no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre sí, y por ello la segunda condición, ya que al existir un punto cuya órbita llena prácticamente el espacio, no es posible dividir el espacio sin romper esta órbita de alguna forma; y
  3. debe tener un amplio elemento de regularidad en medio de este comportamiento aleatorio, estos son los puntos periódicos que han de poder encontrarse en cualquier sitio.

— 3. El efecto mariposa —

   Como hemos visto, el efecto mariposa parece ser parte importante de la definición de caos; es más, es la primera propiedad que debe cumplir un sistema dinámico caótico, lo que nos da a entender que debe ser parte fundamental del caos.

   Y sin embargo… las cosas no son lo que parecen: el efecto mariposa es una condición superflua. ¿Qué quiere decir esto? Pues que esta condición se puede eliminar de la definición y todo sigue igual. En este artículo se puede apreciar que un sistema dinámico que cumpla las dos últimas condiciones, automáticamente debe cumplir la primera. En otras palabras, el efecto mariposa no es más que una consecuencia del caos.

— 4. Sistemas dinámicos —

   Veamos como enfocar lo que queremos decir. Iniciemos con algunas definiciones

Definición 1 (Sistema dinámico). Un sistema dinámico (discreto) está definido por una función {\varphi\colon X\rightarrow X} de un conjunto {X} sobre sí mismo.

   Si {x_0} es el estado inicial, los demás estados se obtiene por la fórmula {x_{n+1}:=\varphi(x_n)}, con {n\in\mathbb N}, donde {n} se interpreta como el tiempo o momento. La órbita de un punto {x_0} está definida como la sucesión {(x_n)_{n=0}^\infty}, i.e., {x_0,x_1,x_2,\dotsc}, donde {x_n\in X}.

   Uno puede pensar que las condiciones de un sistema dinámico caótico son demasiado fuertes, pero no es así; por ejemplo, un sistema descrito por la función {\varphi(x):=1-|2x-1|}, con {0\le x\le1}, y por estado inicial {x_0:=2/9} nos da la sucesión {x_1=\varphi(2/9)=4/9}, {x_2=\varphi(4/9)=8/9}, {x_3=\varphi(8/9)=2/9}, etc. De esto se deduce que la órbita de {x_0} viene dada por {2/9,4/9,8/9,2/9,2/9,4/9,8/9,2/9,\dotsc}, y así el punto {x_0} tiene una órbita periódica con periodo {3}. Ahora, veamos como se comporta la dependencia sensible de las condiciones iniciales, notemos que un leve cambio en el punto inicial genera cambios notables en el tiempo,

\displaystyle  \begin{array}{ccc} & \text{\'Orbita original} & \text{\'Orbita perturbada} \\ x_0 & 0.16 & 0.17 \\ x_1 & 0.32 & 0.34 \\ x_2 & 0.64 & 0.68 \\ x_3 & 0.72 & 0.64 \\ x_4 & 0.56 & 0.72 \\ x_5 & 0.88 & 0.56 \\ x_6 & 0.24 & 0.88. \end{array}

Para el estado inicial {x_0=0.16} se obtiene {x_6=0.24}, mientras que para el estado inicial ligeramente diferente {x_0=0.17} se obtiene {x_6=0.88}, bastante alejado de {0.24}. Además, si bien es más difícil de apreciar, este sistema tiene órbitas densas.

   Usemos la notación, para {x\in X}, la órbita de {x} es {O(x):=\{\varphi^n(x)\in X:n\le 0\}}, donde {\varphi^0(x):=x}. (Esto es esencialmente lo mismo que lo expuesto en la Definición 1.)

   Ahora veamos que quieren decir las condiciones de un sistema dinámico caótico.

{\varphi\colon X\rightarrow X} es sensible respecto de las condiciones iniciales si existe una constante de sensibilidad {\delta>0} (que sólo depende de {\varphi}) tal que para cada {x\in X} y {\epsilon>0} existe {y\in X} y {n\in\mathbb N} tales que {d(x,y)<\epsilon} y {d(\varphi^n(x),\varphi^n(y))>\delta}. Esto quiere decir que no importa cuánto se busque, siempre se podrá hallar un punto {y} tal que tarde o temprano su órbita se aleja de la de {x} una cierta constante prefijada {\delta}.

   La segunda condición dice que existe un punto {x_0} tal que, para cada punto {y\in X} y {\epsilon>0}, existe un {n\in\mathbb N} tal que {d(\varphi^n(x),y)<\epsilon}.

   La tercera condición significa que, para cada punto {x\in X} y {\epsilon>0}, existe un punto periódico {p\in X}, tal que {d(x,p)<\epsilon}. Notar que un punto {p\in X} es periódico, o tiene órbita periódica, cuando existe {n_p\in\mathbb N} tal que {\varphi^{n_p}(p)=p}.

   Ahora centremos nuestro foco de atención.

Teorema 2. Sea {X} un espacio métrico sin puntos aislados. Si la aplicación {\varphi\colon X\rightarrow X} posee un punto con órbita densa y un conjunto denso de puntos periódicos, entonces es sensible respecto de las condiciones iniciales.

Demostración. Sea {X} es un espacio métrico sin puntos aislados. Entonces tenemos que si existe un punto {x_0\in X} con órbita densa, entonces existe un conjunto denso de puntos con órbita densa. En efecto, ya contamos con que la órbita {O(x_0)} es densa. Pero para cada {n\in\mathbb N} se tiene

\displaystyle  O(\varphi^n(x_0))=\{\varphi^n(x_0),\varphi^{n+1}(x_0),\dotsc\}=O(x_0)\setminus\{x_0,\dotsc,\varphi^{n-1}(x_0)\},

y este conjunto sigue siendo denso, ya que sólo se ha retirado una cantidad finito de puntos a un conjunto denso. (Precisamente, para que esto sea cierto, es necesario que no haya puntos aislados.) Resumiendo, sabemos que existe un conjunto denso órbitas densas.

   Ahora, elijamos dos puntos periódicos distintos {p} y {q}. Como sus órbitas {O(p)} y {O(q)} son periódicas, han de ser finitas. Sea {\delta_0:=d(O(p),O(q))}, i.e., la distancia entre sus órbitas. Fijando un punto {x\in X}, es claro que {d(x,O(p))>\delta_0/2} o bien {d(x,O(q))>\delta_0/2}. Así, en cualquier caso, tenemos que: existe {\delta_0>0} tal que, para cada {x\in X}, existe un punto periódico {p}, de manera que {d(x,O(p))>\delta_0/2}.

   Ahora, mostramos que {\varphi} es sensible respecto a las condiciones iniciales y con constante de sensibilidad {\delta=\delta_0/8}. Vamos a por ello.

   Sea {x\in X} y {\epsilon>0}. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que {\epsilon<\delta}. Como el conjunto de puntos periódicos es denso, existe un punto periódico {p} tal que {d(x,p)<\epsilon<\delta}.

   Tal como hemos visto, dado {x\in X} existe un punto periódico {q} tal que {d(x,O(q))>\delta_0/2=4\delta}.

   Sea {n} el periodo de {p} y sea {V:=\bigcap_{i=0}^n\varphi^{-i}(B(\varphi^i(q),\delta))}, donde {B(z,r)} es la bola de centro {z\in X} y radio {r>0}, i.e., {B(z,r):=\{w\in X:d(w,z)<r\}}. Como {\varphi} es continua, se tiene que {V} es una intersección finita de conjuntos abiertos (una aplicación es continua si la preimagen de un abierto es abierto), por lo tanto, {V} es un abierto. Además, obviamente {q\in V}, pues para cada {i=0,\dotsc,n} se tiene que {\varphi^i(q)\in B(\varphi^i(q),\delta)}. Por lo tanto, existe un número {\delta_q>0} tal que {B(q,\delta_q)\subseteq V}.

   Ahora, sabemos que existe un conjunto denso de puntos con órbita densa, por lo tanto, existe un punto {x_0} con orbita densa tal que {d(x,x_0)<\epsilon}. Como {O(x_0)} es densa, existe un {k\in\mathbb N} tal que {d(\varphi^k(x_0),q)<\delta_q}, de donde se deduce que {\varphi^k(x_0)\in V}, y esto quiere decir que para todo {i=0,\dotsc,n} se tiene que {d(\varphi^i(q),\varphi^{i+k}(x_0))<\delta}.

   Ya estamos cerca. Sea {j} la parte entera de {k/n+1}. Así, tenemos que {1\le nj-k\le n} y, por lo anterior, {d(\varphi^{nj-k}(q),\varphi^{nj}(x_0))<\delta}.

   Ahora, queda darnos cuenta que, como {n} es el periodo de {p}, se cumple que {\varphi^{nj}(p)=p} y, aplicando la desigualdad triangular, tenemos que

\displaystyle  \begin{array}{rcl}d(\varphi^{nj}(p),\varphi^{nj}(x_0))&=&d(p,\varphi^{nj}(x_0))\\&\ge&d(x,\varphi^{nj-k}(q))\\&&\;-d(\varphi^{nj-k}(q),\varphi^{nj}(x_0))\\&&\;-d(p,x).\end{array}

Por un lado, sabemos que {d(p,x)<\epsilon<\delta}; por otro, que {d(\varphi^{nj-k}(q),\varphi^{nj}(x_0))}; y finalmente, como {\varphi^{nj-k}(q)\in O(q)} y {d(x,O(q))>4\delta}, se tiene que {d(x,\varphi^{nj-k}(q))>4\delta}. Así, tenemos que {d(\varphi^{nj}(p),\varphi^{nj}(x_0))>4\delta-\delta-\delta=2\delta}.

   Y llegamos. Usando la desigualdad triangular, se tiene que o bien {d(\varphi^{nj}(p),\varphi^{nj}(x))>\delta} o bien {d(\varphi^{nj}(x_0),\varphi^{nj}(x))>\delta}. Pero, como {d(x,p)<\epsilon} y {d(x,x_0)<\epsilon}, en cualquiera de los dos casos hemos demostrado la existencia de un punto {z\in X} y {N\in\mathbb N}, con {N:=nj}, tales que {d(z,x)<\epsilon} y {d(\varphi^N(z),\varphi^N(x))>\delta}. Por lo tanto, {\varphi} es sensible respecto a las condiciones iniciales y con constante de sensibilidad {\delta}. \Box

   Notemos que para entender la demostración apenas se necesitan conocimientos básicos sobre espacios métricos.

— 5. Fin del viaje —

   En conclusión, para poder caracterizar el caos, basta con tener una órbita que (casi) llene todo el espacio y muchas órbitas periódicas. Podríamos decir que un sistema caótico divide al espacio en dos partes: una de gran regularidad (conjunto denso de puntos periódicos) y otra totalmente conectada e indescomponible (una órbita densa). Amabas partes están tan entrelazadas entre sí, que es imposible separar una de la otra. Y que, el efecto mariposa es una simple consecuencia de todo lo anterior.

   Así que, a partir de ahora, cuando veamos comentarios acerca del efecto mariposa recordemos que no es lo que caracteriza el caos: existe otro tipo de impredecibilidad que refleje mejor el caos…

Anuncios