Ariana y David ganan dos monedas de un nuevo sol cada día y gastan dos de ellas.

   Ariana organiza sus ahorros del siguiente modo: el día {n} gana dos monedas {r_n} y {s_n}. Alquila un almacén, deposita allí la moneda {r_n} en una pila de monedas de los días anteriores, y gasta {s_n}. De este modo, el primer día ahorrado {\{r_1\}}, el segundo {\{r_1,r_2\}}, el tercero {\{r_1,r_2,r_3\}}, etc. (Así,la moneda situada arriba de la pila es la escrita a la derecha.)

   David se organiza de otra manera, y hace circular todas sus monedas: el día {n} coloca bajo la pila de monedas ahorradas las monedas {r_n} y {s_n} que acaba de ganar; coge la moneda que se encuentra encima de la pila y la gasta. Así, el primer día su pila tiene la moneda {\{s_1\}} (ha colocado {r_1} y {s_1} y gastado la moneda {r_1}), el segundo día sus monedas son {\{r_2,s_2\}} (ha añadido {r_2} y {s_2} debajo de la pila, quedando {\{s_1,r_2,s_2\}}, y ha gastado la moneda de encima {s_1}), el tercer día su montón se transforma en {\{s_2,r_3,s_3\}}, el cuarto en {\{r_3,s_3,r_4,s_4\}}, el quinto en {\{s_3,r_4,s_4,r_5,s_5\}}, etc.

   Así expuesto, ambos ahorran y gastan la misma cantidad de dinero. Veremos que sorprendentemente Ariana será infinitamente rica y David estará en la más absoluta ruina.

   En efecto, Ariana tendrá ahorradas las monedas

\displaystyle  \{r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7,\dotsc,r_n,r_{n+1},\dotsc\}.

Sin embargo, David no tendrá nada: la moneda {r_n} —colocada el día {n}–– se gastará el día {2n-1}, y la moneda {s_n} ––también colocada el día {n}–– se invertirá el día {2n}. Así, toda moneda termina siendo desembolsada por David, con lo cual, “al final de los tiempos”… no le quedará nada.

¿Parece absurdo, no: ganando y gastando ambos lo mismo, Ariana es rica y David, pobre? Esta es una de las muchas paradojas que minan nuestro razonamiento intuitivo acerca del infinito; la misma que involucra la noción de cardinal. El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que posee. Definimos {card(A)} como el cardinal del conjunto {A}.

   Diremos que {A_n} es el conjunto de las monedas conservadas por Ariana en el instante {n},

\displaystyle  A_n = \{r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7,\dotsc,r_n\},

y {A} es el conjunto con las monedas que posee Ariana al final de los tiempos. El cardinal de {A_n}, es {card(A_n)=n}, que tiende a infinito cuando {n} tiende al infinito, de modo que {card(A)=\infty}, y, así, Ariana termina siendo infinitamente rica.

   Similarmente, sea {D_n} el conjunto de las monedas ahorradas por David en el instante {n} y {D} el número de ellas que conserva al final de los tiempos. Como dijimos, David gasta todas sus monedas, ya que invierte la moneda {r_n} el día {2n-1}, y la moneda {s_n} el día {2n}. Así, {card(D)=0}, ya que {D} es el conjunto vacío. ¡David está en la ruina!

   Comprobemos el resultado. Al cabo de {2n} días:

\displaystyle  A_{2n}=\{r_1,r_2,r_3\dotsc,r_{2n-1},r_{2n}\},

y {card(A_{2n})=2n}, que tiende a infinito cuando {n\rightarrow\infty}, de modo que {card(A)=\infty}. En el caso de Ariana, confirmamos que obtiene una fortuna infinita. Al cabo de esos mismos {2n} días, David tiene guardado

\displaystyle  D_{2n}=\{r_{2n},s_{2n},r_{2n-1},r_{2n-1},\dotsc,r_{n+2},s_{n+2},r_{n+1},s_{n+1}\},

es decir, {card(D_{2n})=2n}, que tiende a infinito cuando {n\rightarrow\infty}, así

\displaystyle  card(D)=\lim card(D_{2n})=\lim(2n)=\infty.

¿No habíamos dicho antes que {D} era el conjunto vacío?

   El problema en este razonamiento se produce al pensar que los límites se pueden intercambiar con el cardinal. Si fuera

\displaystyle  \lim card(D_{2n})=card(\lim D_{2n}),

se obtendría

\displaystyle  \infty=\lim card(D_{2n})=card(\lim D_{2n})=card(D)=0.

   Vemos que debemos ser cuidadosos con los razonamientos sobre sucesiones infinitas. En una próxima entrega podríamos revisar con algo más de detalle este tipo de argumentos… mientras, ¡mucho cuidado con el infinito!

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