En una publicación anterior mencionábamos algunos aspectos de la demostración de Zhang acerca de las brechas acotadas entre primos. Ahora veremos algunos comentarios adicionales.

   En una publicación, Yitang Zhang probó el siguiente teorema:

Teorema 1 (Brechas acotadas entre primos). Existe un número natural {H} tal que hay infinitos pares de primos distintos {p,q} con {|p-q|\le H}.

   Zhang obtuvo el valor explícito de {70,000,000} para {H}. No obstante, se propusieron menores valores y que también mejoran la comprensión de los resultados de Zhang. No obstante la cota ha ido disminuyendo: uno de los valores que más me sorprendió fue {H=246}.

   El argumento de Zhang se divide en tres pasos, los cuales describimos en orden inverso. El último paso, que es el más elemental, es deducir el teorema anterior de las siguiente versión débil de la conjetura Dickson-Hardy-Littlewood (DHL) para algún {k_0}:

Teorema 2. ({DHL[k_0,2]}) Sea {\mathcal H} una {k_0}-tupla admisible, es decir, una tupla de {k_0} enteros distintos que evita al menos una clase de residuos módulo {p} para cada primo {p}. Entonces existen infinitas traducciones de {\mathcal H} que contienen al menos dos primos.

   Zhang obtuvo {DHL[k_0,2]} para {k_0 = 3,500,000}. Para obtener desde {DHL[k_0,2]} al Teorema 1, uno tiene una {k_0}-tupla admisible de diámetro a lo más {H}. Por ejemplo, con {k_0 = 341,640}, la más estrecha {k_0}-tupla admisible que podemos construir con diámetro {4,802,222}. Hay una discusión activa tratando de mejorar la construcción de las tuplas admisibles en este blog; es concebible que alguna búsqueda combinada por computador y construcción combinatorias inteligentes podrían obtener unos cuántos valores mejorados de {H} para un valor dado de {k_0}. La relación entre {H} y {k_0} es aproximadamente de la forma {H \approx k_0 \log k_0} (y una estimación clásica de Montgomery y Vaughan nos dice que no podemos hacer a {H} más estrecho que {\frac{1}{2} k_0 \log k_0}).

   El segundo paso en el argumento de Zhang, que es algo menos elemental (basándose principalmente en la teoría de cribas de Goldston, Yildirim, Pintz y Motohashi), es para deducir {DHL[k_0,2]} desde una cierta conjetura {MPZ[\varpi,\delta]} para algunos {\varpi,\delta > 0}. Aquí hay otra formulación de la conjetura, más o menos como (implícitamente) se indica en la publicación de Zhang:

Conjetura 3. ({MPZ[\varpi,\delta]}) Sea {\mathcal H} una tupla admisible, sea {h_i} un elemento de {\mathcal H}, sea {x} un parámetro grande y se define

\displaystyle  D := x^{1/4+\varpi},

\displaystyle {\mathcal P} := \prod_{p: p < x^{\delta}} p,

\displaystyle  P(n) := \prod_{h \in {\mathcal H}} (n+h),

\displaystyle  C_i(d) := \{ c \in {\bf Z}/d{\bf Z}: (c,d) = 1; P(c-h_i) = 0 \hbox{ mod } d \}

para cualquier número natural {d}, y

\displaystyle  \Delta(\gamma;d,c) = \sum_{x \leq n \leq 2x: n = c \hbox{ mod } d} \gamma(n) - \frac{1}{\varphi(d)} \sum_{x \leq n \leq 2x: (n,d) = 1} \gamma(n)

para cualquier función {\gamma: {\bf N} \rightarrow {\bf C}}. Sea {\theta(n)} igual a {\log p} cuando {n} es un primo {p}, y {\theta(n)=0} en cualquier otro caso. Entonces uno tiene

\displaystyle  \sum_{d < D^2; d|{\mathcal P}} \sum_{c \in C_i(d)} |\Delta(\theta; d, c )| \ll x \log^{-A} x

para cualquier {A > 0} fijo.

   Notar que acá se ha invertido la formulación de Zhang con el propósito de describir lo expuesto en la publicación. Sin embargo se distingue dos parámetros aquí {\varpi,\delta} en lugar de uno, ya que parece que hay algún margen de optimización mediante el uso de dos parámetros distintos.

   Uno puede deducir {DHL[k_0,2]} desde {MPZ[\varpi,\delta]}. Ignorando el error exponencialmente pequeño {\kappa}, uno puede deducir {DHL[k_0,2]} desde {MPZ[\varpi,\delta]} siempre que uno pueda hallar una función suave {g\colon [0,1] \rightarrow {\bf R}} que se desvanece para un orden de almenos {k_0} en {1} tal que

\displaystyle  k_0 \int_0^1 g^{(k_0-1)}(x)^2 \frac{x^{k_0-2}}{(k_0-2)!}\ dx > \frac{4}{1+4\varpi} \int_0^1 g^{(k_0)}(x)^2 \frac{x^{k_0-1}}{(k_0-1)!}\ dx.

   Mediante la selección {g(x) := \frac{1}{(k_0+l_0)!} (1-x)^{k_0+l_0}} para un parámetro real {l_0>0} para optimizar el excedente y, técnicamente, ignorando el término {\kappa} mencionado previamente (el cual es la única cantidad aquí que depende de {\delta}), esto da {DHL[k_0,2]} desde {MPZ[\varpi,\delta]} siempre que

\displaystyle   k_0 > (\sqrt{1+4\varpi} - 1)^{-2} \ \ \ \ \ (1)

   Puede ser posible mejorar esto mediante elecciones más inteligentes para {g} o la ejecución de alguna especie de cálculo numérico de variaciones o teoría espectral.

   La última, y más profunda, parte del trabajo de Zhanges el siguiente teorema (Teorema 2 de la publicación de Zhang, cuya demostración ocupa las Secciones 6-13 de dicha publicación and ocupa como 32 páginas):

Teorema 4 (Zhang). {MPZ[\varpi,\varpi]} es cierto para todo {0 < \varpi \leq \frac{1}{1168}}.

   El significado de la fracción {1/1168} es que el argumento de Zhang procede para una elección general de {\varpi > 0}, pero en última instancia el argumento sólo concluye si uno tiene

\displaystyle  \frac{31}{32} + 36 \varpi \leq 1 - \frac{\varpi}{2}

(ver página 53 de Zhang) el cual es equivalente a {\varpi \leq 1/1168}. La conexión en esta elección de {\varpi} en (1) entonces da {DHL[k_0,2]} con {k_0 = 341,640} como se indicó anteriormente.

   Mejorar el valor de {\varpi} en el Teorema 4 daría lugar a mejoras en {k_0} y, entonces, {H} en como se expuso anteriormente.

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