Hace poco preguntaban si cero a la potencia cero es uno. Recordé que también había formulado esta pregunta mucho tiempo atrás, en término informales. Expondré algunos argumentos que aclaren el panorama acerca de este tipo de preguntas, y veremos que no siempre habrá un acuerdo entre los campos de las matemáticas en los que se trabaje. Es más, la definición puede ser vista como algo casi caprichosa, casi como una navaja suiza, que se adapta naturalmente al contexto en la cual ha de habitar y que ha de ser de utilidad para lo que necesitemos.

En general, no existe una respuesta contundente a cuál debería ser el valor de {0^0}, por lo que es común dejarla como no definida.

Esencialmente, si consideramos la función de dos variables {x^y}, entonces no existe un límite como {(x,y)\rightarrow(0,0)} (con {x\ge 0}): si uno aproxima a lo largo de la línea {y=0}, entonces obtiene {\lim_{x\rightarrow0^+} x^0 = \lim_{x\rightarrow0^+} 1 = 1}; así, ¿deberíamos definir {0^0=1}? Bueno, el problema es que si uno aproxima a lo largo de la línea {x=0}, entonces obtiene {\lim_{y\rightarrow0^+} 0^y = \lim_{y\rightarrow0^+} 0 = 0}. ¿Deberíamos definir {0^0=0}?

Además, si uno aproxima usando otras curvas, obtendrá otras respuestas. Ya que {x^y = e^{y\ln(x)}}, si hacemos la aproximación a lo largo de la curva {y=\frac{1}{\ln(x)}}, entonces obtendremos un limite de {e}; si se aproxima a lo largo de la curva {y=\frac{\ln(7)}{\ln(x)}}, entonces se obtiene un límite de {7}. Así, entre otros. No existe una única respuesta buena desde el punto de vista analítico. De manera que, del cálculo y el álgebra, simplemente no podemos dar ninguna respuesta más que sólo declararlo indefinido.

Sin embargo, desde un punto de vista de la teoría de conjuntos, ¡sí existe una única respuesta a la pregunta acerca de cuál es valor {0^0}! En la teoría de conjuntos, {A^B} es el conjunto de todas las funciones de {B} a {A}; y cuando {A} y {B} hacen referencia al “tamaño” (cardinalidad), se define a “{A^B}” como el tamaño del conjunto de todas las funciones de {B} a {A}. En este contexto, {0} es el conjunto vacío, de manera que {0^0} es la colección de todas las funciones desde el conjunto vacío hacia el conjunto vacío. Resulta que existe una “única” función desde el conjunto vacío hacia el conjunto vacío: la función vacía. De modo que, el conjunto {0^0} tiene un sólo elemento y, por lo tanto, se define {0^0} igual a {1}. Así, si hablamos acerca de la “exponenciación cardinal”, entonces la única posible definición es {0^0=1}, quedando de esa manera.

Además, lo mismo ocurre en Matemáticas Discretas, donde el mayor interés está en “contar” cosas. Así, {n^m} representa el número de maneras en las cuales podemos hacer {m} selecciones de {n} posibilidades, cuando se permiten repeticiones y el orden importa. (Esto es lo mismo que una aplicación desde {\{1,2,\dotsc,m\}} hacia {\{1,2,\dotsc,n\}}, cuando se interpreta apropiadamente; así, es lo mismo que en la teoría de conjuntos.)

Entonces, ¿cuál debería ser el valor de {0^0}? Debería ser el número de maneras en las que uno no puede hacer selecciones cuando no tiene cosas de las cuales elegir. Hay una sola manera de hacer esto: ¡simplemente no hacer nada! Así, tenemos que {0^0} es igual a {1}, porque este es el número correcto de maneras en la que podemos las cosas que {0^0} representa. (Esto es opuesto a {0^1}, donde requerimos realizar {1} elección con nada de los que elegir; en este caso, “no” podemos hacerlo, de manera que {0^1=0}.)

Pero estos razonamientos no funcionan en realidad. Si {x\ne0}, entonces {0^x} significa “el número de manera de hacer {x} elecciones de {0} posibilidades”. Este número es {0}. Así que, para ningún número {q}, tenemos que {q\cdot0^x = 0 = 0^x}; por lo tanto no podemos decir que la ecuación {x^0\cdot0^x=0^x} sugiere que {0^0} “debería” ser {1}. El segundo argumento no funciona porque no podemos dividir por cero, que es lo que se obtiene con {0^x} cuando {x\ne0}. De manera que se viene abajo lo que esperábamos que signifique {n^m} y, en matemáticas discretas, cuando {n} y {m} son enteros no negativos, eso es un conteo: el número de maneras distintas en as cuales podemos hacer cierta cosa (descrita arriba), lo que nos lleva necesariamente a la definición que {0^0} es igual {1}, porque {1} “es” el número de manera de no seleccionar sin opciones.

Coda. Finalmente, es una asunto de definición y utilidad. En el cálculo y álgebra, no hay una definición razonable (lo más cercano es querer justificarlo a través del teorema del binomio o de las series de potencias, pero creo que es un tanto débil), y es mucho más útil dejarlo como no definido o indeterminado, ya que de otro modo tendríamos que considerar todo tipo de excepciones cuando tratemos con las leyes del límite. En teoría de conjunto, en matemáticas discretas, etc., la definición {0^0=1} es a la vez útil y natural, así que lo definimos de esa manera en ese contexto. Para otros contextos (cuando se trata exclusivamente con funciones analíticas donde los problemas con límites no surgen) podemos tener definiciones naturales y útiles a la vez.

Esencialmente, lo definimos (o fallamos al definirlo) en cualquiera de las maneras vistas que sea más útil y natural hacerlo para el contexto en el que se esté trabajando. Para las Matemáticas Discretas, no hay un contexto general en las que haya una manera útil y natural de qué debería ser {0^0}, por lo que lo definimos de esa manera.

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