Hace poco se demostró algo muy interesante a mi parecer: el límite inferior de la diferencia de dos primos consecutivos está acotado por un número fijo cuando los números primos, que pertenecen a la sucesión creciente de estas diferencias, tienden al infinito. Veremos algunas impresiones sobre el hecho que {\liminf_{n\rightarrow\infty} (p_{n+1} - p_n) < 7 \times 10^7}.

— 1. Brechas de primos —

Sean {p_1,p_2,\dotsc} los números primos en orden creciente. Sabemos que esta sucesión es infinito numerable. Una brecha de primos es un entero {p_{n+1} - p_n}. El Teorema de los números primos nos dice que {p_{n+1} - p_n} es aproximadamente {\log(p_n)} cuando {n} tiene al infinito.

Por otro lado, la conjetura de los primos gemelos asegura que

\displaystyle  \liminf_{n\rightarrow\infty} (p_{n+1} - p_n) = 2

i.e., que existen infinitos pares de primos gemelos para los cuales la brecha de primos es {2}. Una generalización de este hecho nos dice que, para cualquier entero positivo par, existen infinitas brechas de primos de ese tamaño. Esta conjetura no ha sido probada ni refutada. Además, estas conjeturas estan relacionadas con la conjetura de Hardy-Littlewood acerca de la distribución de las constelaciones de primos.

— 2. Estrategia —

La cuestión es si existe alguna constante {C} de modo que {p_{n+1} - p_n < C} infinitas veces. En primera instancia, sabemos que esto es cierto… cuando {C = 7 \times 10^7}.

Veamos la estrategia básica de la demostración. Un subconjunto {H = \{h_1,\dotsc,h_k\}} de números naturales distintos es admisible si, para todos los números primos {p}, el número de clases de residuos distintos módulo {p}, ocupado por estos números, es menor que {p}. (Por ejemplo, tomando {p=2}, vemos que las brechas entre los {h_j} deben ser par.) Si esta condición no fuera satisfecha, no sería posible que cada elemento en la colección {\{n+h_1,\dotsc,n+h_k\}} sea primo. Recíprocamente, la conjetura Hardy-Littlewood contiene el enunciado que para cada {H} admisible.existen infinitos {n} tal que cada elemento del conjunto {\{n+h_1,\dotsc,n+h_k\}} es primo.

Denotaremos con {\theta(n)} a la función {\log(n)} cuando {n} es primo y {0} en otro caso. Fijando un entero grande {x}, denotaremos por {n \sim x} el hecho {x \le n < 2x}. Supongamos que tenemos una función positiva de variable real {f} (que especificaremos luego) y consideremos las sumas

\displaystyle  S_1 = \sum_{n \sim x} f(n) \qquad\text{y}\qquad S_2 = \sum_{n \sim x} \left( \sum_{j=1}^k \theta(n+h_j) \right) f(n).

Así, si {S_2 > (\log 3x)S_1} para alguna función, entonces se cumple que {\sum_{j=1}^k \theta(n+h_j) > \log 3x} para algún {n \sim x} (y para cualquier {x} suficientemente grande), lo que quiere decir que al menos dos términos de la suma son distintos de cero, i.e., existen dos índices {i} y {j} tal que {n+h_i} y {n+h_j} son primos. De esta manera, podemos identificar las brechas acotadas de primos.

— 3. Algunos detalles —

El truco es hallar una función apropiada {f}. De un trabajo previo, se sugiere definir {f(n) = \lambda(n)^2}, de modo que

\displaystyle  \lambda(n) = \sum_{d|P(n),d<D} \mu(d) \left(\log\left(\frac{D}{d}\right)\right)^{k+\ell} \;\qquad\; P(n) = \prod_{j=1}^k (n+h_j)

donde {\ell>0} y {D} es la potencia de {x}.

Ahora, si vemos la suma {S_2 - (\log 3x)S_1} como una suma de un término principal más un término de error. Definiendo {D := x^\vartheta} con {\vartheta<1/4}, el término principal es negativo. Cuando {\vartheta = 1/4 + \omega}, el término principal cumple lo requerido, pero la cuestión que queda es cómo acotar el término de error.

— 4. El trabajo de Zhang —

Sea {\vartheta=1/4+\omega}, donde {\omega=1/1168} (que es “pequeño pero más grande que {\epsilon}”. Entonces definimos {\lambda(n)} usando la misma fórmula de antes, pero con una condición adicional en el índice {d}, que {d} divide al producto de os primos menores que {x^\omega}. En otras palabras, sólo sumamos sobre los {d} libres de cuadrados con factores primos pequeños.

El punto de esto es que cuando {d} no es muy pequeño (digamos {d>x^{1/3}}) entonces {d} tiene muchos factores. Si {d=p_1\dotsm,p_b} y {R<d}, existe algún {a} tal que {r=p_1\dotsm,p_a < R} y {p_1,\dotsm,p_{a+1} > R}. Esto da una factorización {d=rq} con {R/x^\omega < r < R}, el cual podemos usar para partir la suma sobre {d} en dos sumas (sobre {r} y sobre {q}), los cuales son manejados usando técnicas cuyos nombres aún no he podido reconocer.

— 5. Sobre el tamaño de la cota —

Uno se puede preguntar de dónde viene el número 70 millones. Esto está relacionado con el hecho que {k} esté en el conjunto admisible (en las notas {k=3.5\times 10^7}). El punto es que {k} necesita ser lo suficientemente grande para que el cambio producido por la condición extra, que {d} está libre de cuadrados con factores primos pequeños, es despreciable. Pero Zhang cree que sus técnicas aún no han sido optimizadas y que la menor cota será pronto posible.

— 6. Extra —

Sea {\pi(x;q,a)} el número de primos menores que {x} congruente a {a\mod q}, y sea {\pi(x)} el número de primos menores que {x}. Denotaremos por EH({\theta}) la afirmación que la siguiente desigualdad es cierta:

\displaystyle \sum_{1\leq q \leq x^{\theta}} \max_{(a,q)=1} | \pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\phi(q)} | \ll \frac{x}{\log^A(x)} (*)

for all large {x}.

El teorema de Bombieri-Vinogradov asegura que EH({\theta}) se cumple para {\theta <1/2}, y la conjetura Elliot-Halberstam asegura que EH({\theta}) se cumple para todo {\theta<1}.

A mediados del 2000, Goldston, Pintz e Yildirim probaron que si la conjetura de Elliott–Halberstam se cumple para cualquier nivel de la distribución {\theta>1/2}, entonces uno tiene infinitas brechas de primos acotadas (donde el tamaño de la brecha es una función de {\theta}, para {\theta>.971} obtuvieron una brecha de tamaño 16). Ya que el teorema de Bombieri-Vinogradov nos dice que EH({\theta}) se cumple para {\theta <1/2}, en algún sentido los argumentos de Goldston-Pintz-Yildirim apenas dan algunas brechas acotadas.

Por otro lado, en los años de 1980 Fouvry y Iwaniec fueron capaces de avanzar con el nivel de la distribución en el teorema de Bombieri-Vinogradov por encima de {1/2} a expensas de (1) remover los valores absolutos, (2) eliminar los máximos sobre las clases de residuos, y (3) ponderar los sumandos con una función “bien-factorizable’. Esto fue de manera subsecuente mejorada en una serie de artículos de Bombieri, Friedlander and Iwaniec. Para el argumento de Goldston-Pintz-Yildirim, las dos primeras restricciones no plantean un obstáculo significante; sin embargo, la inclusión de el peso bien-factorizable aparece para evitar que uno lo use con la maquinaria de Goldston-Pintz-Yildirim.

El argumento de Zhang da un tamaño de brecha cerca de 70 millones. Se sospecha que esta brecha puede decrecer rápidamente. En sus teoremas, Bombieri, Friedlander y Iwaniec dan un nivel de distribución cerca de {4/7}, donde Zhang parece estar trabajando con un nivel de distribución de la forma {1/2+\delta} para {\delta} en el orden de {1/1000}, de modo que existe una gran probabilidad de optimización. Como un punto de referencia, si uno tiene un nivel de distribución de {55/100 } ({< 4/7}) en la conjetura no modificada de Elliot-Halberstram (sin el peso bien-factorizable), el trabajo de Goldston, Pintz e Yildirim da infinitas brechas de tamaño menor que {2956}.

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