Una de las consecuencias “curiosas” de los conjunto ordenados es el principio del palomar. Tiempo atrás, vi dos ejercicios que me parecieron interesante al resolverlos. Veremos algunas perspectivas de este principio al momento de resolver los ejercicios; por ejemplo, la interpretación desde la teoría de cardinales.

Proposición 1 (Principio del palomar). Si {n} palomas se distribuyen en {m} palomares y {n > m}, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma.

Ejercicio 1. Dados los primeros {20} enteros positivos, demostrar que en todo subconjunto de {12} de ellos siempre hay dos números cuya suma da como resultado un elemento del propio subconjunto.

Ejercicio 2. En una reunión, al menos dos de los participantes conocen al mismo número de invitados.

— 1. Interpretación en la teoría de conjuntos —

Analizando el escenario de las palomas, vemos que si {A} es el conjunto de todas las palomas y {B} es el conjunto de los palomares, entonces es fácil apreciar que deben haber dos palomas “asignadas” a un mismo palomar. Esto, desde la perspectiva de la teoría de conjuntos, quiere decir que dicha “asignación” no puede ser inyectiva. De esta manera, podemos dar un enunciado equivalente a la Proposición 1.

Proposición 2. Sean {A} y {B} conjuntos finitos. Sean {\alpha} y {\beta} sus cardinales respectivos, i.e., {\alpha=card(A)} y {\beta=card(B)}, tales que {\alpha<\beta}. Entonces no existe ninguna función inyectiva de {A} a {B}.

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