Estaba escribiendo sobre los distintos infinitos que cohabitan en nuestro universo matemático, pero decidí hacer una antesala acerca de la Teoría de conjuntos para asegurar que se conoce lo necesario para poder comprender los artículos que vienen.

Mucho de las matemáticas modernas tienen que ver con números, conjuntos y geometría. A continuación presentaremos los aspectos más elementales de la teoría de conjuntos axiomática, dejando los tópicos más avanzados para una discusión posterior.

— 1. Fundamentos —

Empezaremos exponiendo algunos axiomas para los conjuntos. Por razones “pedagógicas”, usaremos una lista con algo de axiomas extras para la teoría de conjuntos, en el sentido que algunos de los axiomas pueden ser usados para deducir otros, pero no hay un riesgo real al hacer esto. Iniciemos, así, con una descripción informal de lo que un conjunto debe ser

Definición 1. (Informal) Definimos un conjunto {A} como cualquier colección no ordenada de objetos, e.g., {\{7,6,9,8\}} es un conjunto. Si {x} es un objeto, diremos que {x} es un elemento de {A}, o {x \in A}, si {x} se encuentra en la colección; de lo contrario, diremos que {x \notin A}. Por ejemplo, {3 \in \{1,2,3,4,5\}} pero {7 \notin \{1,2,3,4,5\}}.

Vemos que esta definición es lo suficientemente intuitiva, pero no responde un número de preguntas, como cuáles colecciones de objetos son considerados conjuntos, cuáles conjuntos son iguales a otros y cómo uno define operaciones sobre conjuntos (e.g., uniones, intersecciones, etc.). Además, aún carecemos de axiomas para poder hacer operaciones con conjuntos, o con sus elementos. Obtener y definir estos axiomas y operaciones será nuestro propósito en este apartado.

Aclaremos algo: consideraremos a los conjuntos en sí mismos como un tipo de objeto.

Axioma 1 (Los conjuntos son objetos). Si {A} es un conjunto, entonces {A} también es un objeto. En particular, dados dos conjuntos {A} y {B}, es válido preguntarse si {A} es también un elemento de {B}.

Ejemplo 1. (Informal) El conjunto {\{3,\{3,4\},4\}} es un conjunto de tres elementos distintos, uno de los cuales es de hecho un conjunto de dos elementos. Sin embargo, no todos lo objetos son conjuntos; por ejemplo, será usual que no consideremos el número {3} como un conjunto, aunque podríamos decir que un número natural puede ser la cardinalidad de un conjunto (algo que veremos luego, en el apartado ¿?).

Observación 1. Existe un caso especial de la teoría de conjuntos, llamada “Teoría de conjuntos pura”, en la cual todos los objetos son conjuntos; por ejemplo, el número {0} puede ser identificado con el conjunto vacío {\emptyset = \{\}}, el número {1} puede ser identificado con {\{0\} = \{\{\}\}}, el número {2} puede ser identificado con {\{0,1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}}, y así sucesivamente. Las dos tipos de teorías son más o menos equivalentes para el propósito de hacer matemáticas, por lo que tomaremos un posición agnóstica respecto a si todos los objetos son conjuntos o no.

De todos los objetos que se estudian en matemáticas, algunos serán conjuntos; además, si {x} es un objeto y {A} es un conjunto, entonces {x \in A} es cierto o es falso. (Si {A} no es un conjunto, dejaremos la expresión {x \in A} como no definido; por ejemplo, la expresión {6 \in 9} no será ni verdadera ni falsa, simplemente, no tendrá sentido, ya que {9} no es un conjunto.)

Ahora, definiremos la noción de igualdad: ¿Cuándo dos conjuntos se consideran iguales? No consideraremos de importancia el orden; así, {\{7,6,9,8\}} y {\{6,8,7,9\}} son el mismo conjunto. Por otro lado, los conjuntos {\{7,6,9,8\}} y {\{7,6,9,8,1\}} son distintos, ya que el último contiene un elemento que el primero no. Por una razón similar, {\{7,6,9,8\}} y {\{7,6,9\}} son conjuntos distintos. Formalicemos esto con la definición

Definición 2 (Igualdad de conjuntos). Dos conjuntos {A} y {B} serán iguales, {A = B}, si, y sólo si, cada elemento de {A} es un elemento de {B} y viceversa. Dicho de otra manera, {A = B} si, y sólo si, todo elemento {x} de {A} pertenece también a {B}, y todo elemento {y} de {B} pertenece también a {A}.

Así, por ejemplo, {\{1,2,3,4,5\}} y {\{3,4,2,1,5\}} son el mismo conjunto, ya que contiene exactamente los mismos elementos. Además, el conjunto {\{3,3,1,5,2,4,2\}} también es igual a {\{1,2,3,4,5\}}; la repetición de {3} y {2} es irrelevante ya que eso no cambio el hecho que {2} y {3} sean elemento del conjunto.

Uno puede verificar fácilmente que la noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 1).

Ahora, volvemos a la cuestión de cuáles objetos son conjuntos y cuáles no. Empezaremos con un único conjunto, el conjunto vacío, y construiremos más conjuntos a partir del conjunto vacío mediante la aplicación de varias aplicaciones. Empezaremos postulando la existencia del conjunto vacío.

Axioma 2 (El conjunto vacío). Existe un conjunto {\emptyset}, conocido como el conjunto vacío, el cual no contiene elementos, i.e., para cada objeto {x} tenemos {x \notin \emptyset}.

El conjunto vacío también se denota {\{\}}, Notar que sólo puede haber un único conjunto vacío; si hubieran dos conjuntos {\emptyset} y {\emptyset'}, ambos vacíos, entonces, por la Definición 2, cada uno debería ser igual al otro (¿por qué?).

Si un conjunto no es igual al conjunto vacío, diremos que es no vacío. La siguiente afirmación es simple, pero vale la pena mostrarlo:

Lema 3 (Elección única). Sea {A} un conjunto no vacío. Entonces existe un objeto {x} tal que {x \in A}.

Demostración. Lo demostraremos por contradicción. Supongamos que no existe ningún objeto {x} tal que {x \in A}. Entonces, para todo los objetos {x}, tenemos {x \notin A}. Además, por el Axioma 2 tenemos {x \notin \emptyset}. Así {x \in A \iff x \in \emptyset} (ambas afirmaciones son igualmente falsas), y así {A = \emptyset} por la Definición 2, una contradicción. \Box

Observación 2. El Lema anterior asegura que dado cualquier conjunto no vacío {A}, estaos permitidos a “elegir” un elemento {x} de {A}, el cual demuestra el hecho que no es vacío. Después (en el Lema ¿?) mostraremos que dado un número finito de conjuntos no vacíos, digamos {A_1, \dotso, A_n}, es posible elegir un elemento {x_1, \dotso, x_n} de cada conjunto {A_1, \dotso, A_n}; esto se conoce como la “elección finita”. Sin embargo, para efecto de elegir elementos de un número infinito de conjuntos, necesitamos un axioma adicional, el axioma de la elección, el cuál se discutirá en la Sección ¿?.

Si el Axioma 2 fuera el único axioma que tiene la teoría de conjuntos, entonces sería muy aburrido. Ahora presentaremos axiomas adicionales para dar enriquecer los tipos de conjuntos disponibles.

Axioma 3 (Conjuntos unitarios y conjuntos pares). Si {a} es un objeto, entonces existe un conjunto {\{a\}} cuyo único elemento e {a}, i.e., para cada objeto {y}, tenemos {y \in \{a\}} si, y sólo si, {y = a}; nos referiremos a {\{a\}} como el conjunto unitario cuyo elemento es {a}. Además, si {a} y {b} son objetos, entonces existe un conjunto {\{a,b\}} cuyos únicos elementos son {a} y {b}; i.e., para cada objeto {y}, tenemos que {y \in \{a,b\}} si, y sólo si, {y = a} o {y = b}; nos referiremos a este conjunto como el conjunto par formado por {a} y {b}.

Observación 3. Así como existe únicamente un conjunto vacío, existe un único conjunto unitario por cada objeto {a}, gracias a la Definición 2 (¿por qué?). Similarmente, dado cualquier par de objetos {a} y {b}, hay un solo conjunto par formado por {a} y {b}. Adicionalmente, la Definición 2 también asegura que {\{a,b\} = \{b,a\}} (¿por qué?) y {\{a,a\} = \{a\}} (¿por qué?). Así, el axioma del conjunto unitario es de hecho redundante, siendo una consecuencia del axioma del conjunto par. Recíprocamente, el axioma del conjunto par se sigue del axioma del conjunto unitario y del axioma de la unión por pares de abajo (ver Lema 4). Uno puede preguntarse por qué no ir más allá y crear axiomas de ternas, axiomas de cuaternas, etc.; sin embargo, veremos que no es necesario una vez introduzcamos el axioma de la unión por pares de abajo.

Ejemplo 2. Ya que {\emptyset} es un conjunto (y, por lo tanto, un objeto), de modo que el conjunto unitario {\{\emptyset\}}, i.e., el conjunto cuyo único elemento es {\emptyset}, es un conjunto (y no es el mismo conjunto que {\emptyset}, {\{\emptyset\} \ne \emptyset} (¿por qué?)). Similarmente, el conjunto unitario {\{\{\emptyset\}\}} y el conjunto par {\{\emptyset, \{\emptyset\}\}} también son conjuntos. Estos tres conjuntos no son iguales entre sí (Ejercicio 2).

Como se ve en los ejemplos anteriores, ahora podemos crear unos tanto conjuntos más; sin embargo, los conjuntos que podemos crear son algo pequeños todavía (cada conjunto que podemos construir consiste de no más de dos elementos, hasta el momento). El siguiente axioma nos permite construir algunos conjuntos más grandes que los anteriores.

Axioma 4 (Unión de pares). Dados dos conjuntos {A, B}, existe un conjunto {A \cup B}, llamado unión {A \cup B} de {A} y {B}, cuyos elementos consiste de todo los todos los elementos que pertenecen a {A} o {B}, o ambos. En otras palabras, para cualquier objeto {x},

\displaystyle  x \in A \cup B \iff (x \in A \text{ o } x \in B).

Ejemplo 3. El conjunto {\{1,2\} \cup \{2,3\}} se compone aquellos elementos que, o bien se encuentran en {\{1,2\}} o en {\{2,3\}}, o en ambos; en otras palabras, los elementos de este conjunto son simplemente {1}, {2}, y {3}. Debido a esto, denotamos a este conjunto como {\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}}

Observación 4. Si {A, B, A'} son conjuntos y {A} es igual a {A'}, entonces {A \cup B} es igual a {A' \cup B} (¿por qué? Uno necesita usar el Axioma 4 y la Definición 2). Similarmente, si el conjunto {B'} es igual a {B}, entonces {A \cup B} es igual a {A \cup B'}. Así la operación de unión obedece el axioma de sustitución, siendo así bien-definida para los conjuntos.

Ahora veremos algunas propiedades básicas de la unión.

Lema 4. Si {a} y {b} son objetos, entonces {\{a,b\} = \{a\} \cup \{b\}}. Si {A, B, C} son conjuntos, entonces la operación unión es conmutativa (i.e., {A \cup B = B \cup A}) y asociativa (i.e., {(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)}). Además, tenemos {A \cup A = A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A}.

Demostración. Sólo demostraremos la identidad de asociatividad {(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)}, dejando el resto para el Ejercicio 3. Por la Definición 2, necesitamos mostrar que todo elemento {x} de {(A \cup B) \cup C} es un elemento de {A \cup (B \cup C)} y viceversa. Supongamos primero que {x} es un elemento de {(A \cup B) \cup C}. Por el Axioma 4, esto quiere decir que al menos uno de {x \in A \cup B} o {x \in C} es cierto. Dividamos en dos casos. Si {x \in C}, entonces por el Axioma 4, una vez más, {x \in B \cup C}, de modo que, nuevamente por el Axioma 4, tenemos {x \in A \cup (B \cup C)}. Ahora supongamos que {x \in A \cup B}, entonces, de nuevo por el Axioma 4, {x \in A} o {x \in B}. Si {x \in A} entonces {x \in A \cup (B \cup C)} por el Axioma 4, mientras que si {x \in B} entonces, aplicando consecutivamente el Axioma 4, tenemos {X \in B \cup C} y, por lo tanto, {x \in A \cup (B \cup C)}. Así, en todos los casos vemos que cada elemento de {(A \cup B) \cup C} se encuentra en {A \cup (B \cup C)}. Un argumento similar muestra que cada elemento de {A \cup (B \cup C)} se encuentra en {(A \cup B) \cup C}, de modo que {(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)}, como se deseaba. \Box

Ejercicio 1. Mostrar que la definición de igualdad en (2) es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejercicio 2. Usando sólo la Definición 2, el Axioma 3 y el Axioma 4, demostrar que los conjuntos {\emptyset}, {\{\emptyset\}} y {\{\emptyset, \{\emptyset\}\}} son distintos (i.e., ningún par de ellos es igual uno al otro).

Ejercicio 3. Demostrar las afirmaciones restantes en Lema 4.


Continuará…

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