Hacer matemáticas es muy similar a hacer música: es ciencia y arte. En la música existen las escalas, patrones, “riffs”, círculos armónicos, que son las herramientas para componer. Pero también está la creatividad, lo que hace que aun cuando todos los que quieren hacer música usan esas herramientas, no se conviertan en verdaderos maestros. Análogamente, la labor del matemático es similar a la de quien explora nuevos caminos. Su objetivo es hallar nuevos entes, estructuras, para su estudio detallado mediante las herramientas existen o las que él podría desarrollar. También, hay quienes piensan que los entes matemáticos se descubren y que las herramientas matemáticas se inventan. Desde mi punto de vista —algo filosófico, cuando se maneja de manera abstracta, no existe diferencia sustancial entre entes y herramientas.

¿Se inventaron o se descubrieron los números naturales? ¿Y los enteros, racionales y reales? ¿Y el número {\pi}, {e}, {\phi}, etc.? Tal vez, la imposibilidad de reclamar alguna especie de derecho de autor de dichas herramientas en las matemáticas es lo que hace la diferencia entre que sean inventadas o descubiertas. Bajo esta óptica, mi postura es propia de quien practica las matemáticas y que no considera posible patentar sus propios descubrimientos. Pero cada lector tendrá su propia opinión, diferentes versiones o con sutilezas sobre las cuales debatir. Para esclarecer la postura que mantengo usaré una función que captó mi curiosidad desde antes que me iniciara en matemáticas, la función zeta de Riemann. Para quien quiera leer una disertación realmente prolija, puede consultar al artículo de Guilherme França y André LeClair, A theory for the zeros of Riemann {\zeta} and other L-functions.

Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, al sumar los términos {a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + \dotsb} se obtiene el valor de la serie {\sum_{1\le n} a_n}. Un ejemplo “clásico” de series infinitas es el que aparece en el llamado problema de Basilea, ¿cuál es el valor de la siguiente serie infinita?

\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots,

¿Se inventó esta serie? ¿Se descubrió? Euler logró demostrarlo en 1741. El resultado que le dio fama fue

\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Pero, ¿por qué aparece el número {\pi} en esta serie? Es más, se podía calcular

\displaystyle \zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}

y en general el valor de cualquiera de las series {\zeta(2n)}, en función de los llamados números de Bernoulli. ¿Este método fue inventado o descubierto por Euler? ¿Hubiera sido un sinsentido tratar de patentar esta inveción?

Sin embargo, para las potencias impares de esta serie, i.e., {\zeta(2n+1)}, el método deja de funcionar. ¿Tiene sentido patentar un método para calcular estos valores de la función zeta? ¿Será inventado o descubierto? Mi punto es que, dadas ciertas estructuras matemáticas, lo que se descubre es el método para explorar sus propiedades. No obstante, el proceso puede ser tan tortuoso que podría quererse patentar la herramienta inventada en el proceso. Por ejemplo, está el caso de Grigori Perelman, quien trabajó durante ocho años para resolver la conjetura de Poincaré —aunque al final Perelman optó por una decisión sencilla sino romántica.

Posteriormente, en 1737, se descubrió el producto de Euler, que es un hecho loable

\displaystyle \zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}=\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_i^z}\right)^{-1},

donde {p_i} es el {i}-ésimo número primo ({p_1=2}, {p_2=3}, {p_3=5}, etc.). Se puede mostrar que si la variable {z} es un número complejo {z=\Re(z)+i \times \Im(z)}, con {\mbox{i}^2=-1}, las series convergen cuando {\Re(z) > 1}; además, divergen para {z=1}. Ahora, tenemos una serie infinita que describe una función {\zeta(z)} de variable compleja para {\Re(z) > 1}. Uno se preguntará si es posible extender de forma única la función {\zeta(z)} a valores con {\Re(z) < 1}. ¿Piensas que se esta extensión se descubre o que el método para obtenerla es inventada? Ya te digo, bajo lo expuesto, prefiero pensar que la extensión se descubre y el método se inventa.

La función {\eta(z)} de Dirichlet corresponde a la versión alternada de la serie, i.e.,

\displaystyle  \eta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},

la cual converge cuando {\Re(z) > 0} y así

\displaystyle  \zeta(z)=\frac{1}{1-2^{1-z}}\,\eta(z),

y así, obtenemos una expresión que define la función {\zeta(z)} para {\Re(z) > 0}. Por lo que, nuevamente, es válido preguntar si es posible extender esta función a todo el plano complejo. Riemann probó que existe la continuación analítica única de la función {\zeta(z)} a todo el plano complejo, excepto en el polo {z = 1}. Además, descubrió —no diría inventó— que está dada por

\displaystyle  \zeta(z)=\Gamma(1-z)\,{\cal J}(z),

donde

\displaystyle  \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}u^{z-1}e^{-u}\,du

y

\displaystyle {\cal{J}}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\cal{C}}\frac{u^{z}}{e^{-u} - 1}\frac{du}{u},

ambas bien definidas en todo el plano complejo, para un contorno {\cal C} adecuado.

Explorar las propiedades de la función {\zeta(z)} ha sido un viaje por terra incognita emprendido por Riemann y que todavía muchos matemáticos siguen disfrutando y sufriendo. Adicionalmente, Riemann demostró la ecuación funcional

\displaystyle  \chi(z) = \chi(1-z),\qquad\chi(z) \equiv \pi^{-z/2}\,\Gamma(z/2)\zeta(z),

válida en todo el plano complejo, excepto en el polo simple {z=1}. Esta ecuación funcional es compañera de viaje de todo estudioso del universo de la función zeta de Riemann. Notar que la función gamma {\Gamma} guía hacia una generalización del factorial {n! = \Gamma(n+1)} de los números naturales hacia los números reales no negativos y complejos distintos de los enteros no positivos. Por otro lado, se puede demostrar que {\zeta(-2n) = 0} son los ceros triviales, sólo basta con sustituir {z \rightarrow 1+2n} para {n=1,2,\dotsc} en la ecuación funcional. Además, la función {\zeta(z)} no tiene ceros para {\Re(z) > 1}, luego los ceros triviales son los únicos para {\Re(z)<0}.

Obviamente, uno puede pensar en buscar cuántos ceros no triviales hay en {0 \le \Re(z) \le 1}, lo que se llama la banda crítica. Todos estos ceros son simétricos respecto a la línea crítica {\Re(z) = 1/2}. Más aún, si {\rho} es un cero complejo, también lo son {\bar\rho, 1-\rho} y {1-\bar\rho}. La excepción son los ceros en la línea crítica {\Re(z) = 1/2}, para los que {\rho} y {1-\bar\rho} coinciden. ¿Cuántos ceros hay en la línea crítica? Hardy demostró que hay infinitos. ¿Cuántos ceros hay en la banda crítica que no estén en la línea critíca? La hipótesis de Riemann afirma que ninguno. Nadie lo ha demostrado. Un millón de dólares espera a quien lo logre…

¿Las propiedades de la función zeta de Riemann se han sido inventadas o descubiertas? ¿Se inventarán los métodos necesarios para mostrar que la hipótesis de Riemann es cierta o se descubrirán? Habrá quien sienta que son parte de un descubrimiento, pero que le gustaría que fueran inventos, para así poder patentarlas.

Y tú ¿qué opinas?

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