Cuando se busca probar la existencia de cierto número es común recurrir a una demostración por contradicción. Usualmente se procede asumiendo que no existe un objeto tal que… No obstante, a veces un puede tener cierta satisfacción encontrado un procedimiento en el cual se halle dicho objeto. Aunque, este camino podría ser más tortuoso de lo que uno podría esperar. Ahora, pretendemos demostrar la siguiente proposición:

Proposición 1. Sea {x} un número real. Demostrar que existe un único entero {N} tal que {N \le x < N + 1}.

Asumamos que tenemos construido el conjunto de los números racionales, las leyes usuales del álgebra y orden y el valor absoluto. Además, tenemos definido la parte entera para los racionales:

Lema 2. Sea {x} un número racional. Entonces existe un único entero {N} tal que {N \le x < N + 1}.

Por otro lado, se define un real como el límite formal de alguna sucesión de Cauchy de números racionales.

Definición 3. Un número real es un objeto de la forma {\text{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n}, donde {(a_n)_{n=1}^\infty} es una sucesión de Cauchy de números racionales.

Definición 4. Una sucesión de racionales {(a_n)_{n=1}^\infty} es de Cauchy si para cualquier número racional {\epsilon > 0} existe un entero {N \ge 1} tal que {|a_j - a_k| \le \epsilon} para cualquier {j, k \ge N}.

Con estos hechos en mente, podemos iniciar la búsqueda de dicha parte entera {N}.

Sea {x} un número real. Se tiene que {x = \text{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n} para alguna sucesión de Cauchy {(a_n)_{n=1}^\infty}. Como {a_1, a_2, \dotso} son números racionales, sabemos que existe un entero {N_n} tal que {N_n \le a_n < N_n + 1} para el número racional {a_n} de la sucesión. En este punto, es claro que lo ideal sería demostrar que {(N_n)_{n=1}^\infty} es una sucesión de Cauchy, ya que así, dicha sucesión haría referencia al entero que buscamos.

Veamos con lo que contamos. Tenemos la sucesión de racionales {a_1, a_2, \dotso} que es de Cauchy y tenemos la sucesión de enteros {N_1, N_2, \dotso} que “no sabemos” si es de Cauchy, pero que representan respectivamente la parte entera de los racionales de la primera sucesión. Así, tenemos

\displaystyle   |a_j - a_k| \le \epsilon \ \ \ \ \ (1)

para todo {j, k \ge L} para enteros {j, k, L} y cierto {L \ge 1}; también tenemos

\displaystyle   N_i \le a_i < N_i + 1 \ \ \ \ \ (2)

para todo entero {i \ge 1}. Por comodidad, vamos a continuar el razonamiento sin hacer referencia a {L}, ya que siempre podemos fijar {j, k \ge L} y continuar, añadiendo (1) a la línea de razonamiento.

De (2) podemos obtener

\displaystyle  \begin{array}{rcccl} N_j & \le & a_j & < & N_j + 1 \\ 0 & \le & a_j - N_j & < & 1, \end{array}

similarmente

\displaystyle  0 \le a_k - N_k < 1

y

\displaystyle  -1 < N_k - a_k \le 0;

así

\displaystyle  |(a_j - N_j) - (a_k - N_k)| < 1

que es lo mismo que {|(a_j - a_k) - (N_j - N_k)| < 1}. Usando la desigualdad triangular y (1), obtenemos {|N_j - N_k| < 1 + \epsilon}, i.e., {|N_j - N_k| \le 1}. De manera que, {N_j = N_k} o uno es el sucesor (o predecesor) del otro.

En este punto, nos detenemos para meditar un poco. ¿Qué quiere decir {|N_j - N_k| \le 1}? Imaginemos que formamos una sucesión de unos y ceros a partir de la diferencia {|N_j - N_k|} ¿Esta los valores de esta sucesión serán alternativamente uno o cero? ¿Puede ser siempre cero o uno? Definitivamente, que la diferencia {|N_j - N_k|} sea siempre cero es lo deseado. No obstante, no olvidemos que esta sucesión podría ser siempre igual a uno. ¿Seguiría siendo la sucesión {(N_n)_{n=1}^\infty} equivalente al entero buscado? ¿Y si esta sucesión de las diferencias {|N_j - N_k|} fuera algo como {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0,\dotso}? Es en este tipo de situaciones en las que la mecánica del razonamiento no basta para llegar a la respuesta deseada. Reflexionando acerca de la desigualdad obtenida, podemos intuir cierto comportamiento deseado (para obtener el entero {N}). Primero, si en efecto {N_j - N_k = 0}, entonces no hay nada más que hacer, esto sería cierto porque {(N_j = N_k) \le a_j, a_k < (N_j = N_k) + 1}, y, por lo tanto, la sucesión {(N_n)_{n=1}^\infty} sería de Cauchy y equivalente a un entero, ciertamente, el buscado. Segundo, de ser {|N_j - N_k| = 1}, uno de ellos es el sucesor del otro. Supongamos {N_k = N_j + 1}, para que {|a_j - a_k|} sea menor que cualquier {\epsilon} se necesita que {a_k = N_k}, ya que se cumple {a_j < (N_j + 1 = N_k)}, i.e., como {a_k} no puede ser menor que {N_k}, sólo queda que {a_j} se acerque {a_k}, pero sin igualarlo, ya que {a_j < N_k}. Tercero, si la sucesión fuera algo similar a {0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0,\dotso}, entonces, de manera similar al caso anterior, {a_j} sería igual a {N_j} y {a_k} estaría alternativamente entre {a_j - \epsilon} y {a_j + \epsilon}.

Como comenté al inicio, el camino hacia la “construcción” puede ser algo complicado, para poder continuar con la demostración tendríamos que hacer una demostración por casos: cuando {x} es entero y cuando no lo es. (Notar que la demostración de la proposición sería más simple si tomáramos tres casos basados en el orden de los reales (cuando es positivo, cero y negativo), que es el procedimiento usual que se plantearía uno al intentar llegar a la demostración.) Ahora, por lo dicho anteriormente, podemos intuir que hay cierta dualidad entre ser o no entero, palpable en los dos últimos casos.

Veamos otro enfoque. Deseamos obtener una sucesión {(N_n)_{n=1}^\infty} que sea equivalente a cero, y de hecho sería una sucesión de Cauchy , por lo que lo ideal sería obtener algo similar a {N_j = N_k} o {|N_j - N_k| = 0} para todo {j, k \ge L}. Para ello, si pudiéramos formular un {\epsilon > 0} en relación con {a_j, a_k, N_j, N_k} de manera que {(N_n)_{n=1}^\infty} sea una sucesión de Cauchy, entonces tendríamos hecha la demostración. Supongamos que existe un {\epsilon} tal que

\displaystyle   \begin{array}{rcl} \epsilon < a_j - N_j + \epsilon < 1 \\ \epsilon < a_k - N_k + \epsilon < 1 \end{array} \ \ \ \ \ (3)

así, con (1)

\displaystyle  \begin{array}{rcl} -1 < & N_j - a_j - \epsilon & < -\epsilon \\ \epsilon < & a_k - N_k + \epsilon & < 1 \\ -\epsilon < & a_j - a_k & < \epsilon \end{array}

de modo que

\displaystyle  |N_j - N_k| < 1

y, por lo tanto, {N_j = N_k}. Así, {(N_n)_{n=1}^\infty} es una sucesión de Cauchy equivalente a un entero. ¡No nos alegremos tan rápido! Esto sólo es cierto si dicho {\epsilon} fuera posible, pero sólo hemos supuesto la existencia de un {\epsilon} que cumple las condiciones que nos favorecen.

Para hacernos una idea de cómo podría hallarse usemos las diferencias {d_j := a_j - N_j} y {d_k := a_k - N_k}. Ambas se encuentran entre {0} y {1}. Nuestro {\epsilon} debe ser la mínima distancia entre “{0} y el menor de entre {d_j} y {d_k}” o “{1} y el mayor de entre {d_j} y {d_k}”. Para ello hay una manera sencilla de obtener el mayor y menor de entre dos números {A} y {B}: sea su suma {S := A + B} y su distancia {D := |A - B|}, entonces el menor {m} es {n := (S - D) / 2} y el mayor {M} es {M := (S + D) / 2}. Esto se prueba fácilmente mediante la tricotomía. Ahora, primero necesitamos obtener las distancias que mencionamos al inicio, {d_j} y {d_k}. Es simple, si establecemos {S_d := d_j + d_k} y {D_d := |d_j - d_k|}, el menor es {m_d = (S_d - d_k) / 2} y el mayor {M_d = (S_d + D_d) / 2}. Luego, necesitamos obtener la menor distancia de entre “{0} y el menor” y “{1} y el mayor”. El procedimiento es el mismo, buscamos el menor de entre “{0} y {m_d}” y “{M_d} y {1}”. Si establecemos {D_0 := m_d - 0 = m_d} y {D_1 := 1 - M_d} y buscamos el menor de entre {D_0} y {D_1}, aplicando la fórmula obtenemos la menor distancia mediante {D_m := ((D_0 + D_1) - |D_0 - D_1|) / 2}. Así, mientras nuestro {e} sea menor que {D_m}, las relaciones en (3) se cumplirán.

Por lo tanto, hemos demostrado que podemos hallar un {\epsilon} a partir del cual la parte entera de cada racional de la sucesión es el mismo entero. No obstante, he dejado algunas sutilezas para lector; por ejemplo, si nota la relación {0 < \epsilon < D_m} verá que hay una dicotomía entre si la sucesión de Cauchy {(a_n)_{n=1}^\infty} no representa ya un entero, además, verificar que {M_d + \epsilon < 1}, aunque esto es fácil. Finalmente, recordar que desde un punto de vista del intuicionismo no puede haber una construcción de una función {f \colon \mathbf R \rightarrow \mathbf N} a menos que sea constante, pero esto es otro tema que podríamos ver luego.

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